{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f3b8defe",
"metadata": {},
"source": [
"# Uge 8: Riemann-Integralet i n-D"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5e0bfc71",
"metadata": {},
"source": [
"## Nøglebegreber"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "2c506f73",
"metadata": {},
"source": [
"* Riemann-integralet for skalar-funktioner af n variable\n",
"* Riemann-integralet for vektor-funktioner\n",
"* Transformationssætningen: Koordinatskifte i $\\mathbb{R}^n$\n",
"* Jacobi-determinanten\n",
"* [Typiske koordinater](https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_common_coordinate_transformations):\n",
" - I $\\mathbb{R}^2$: Kartesiske og polære koordinater\n",
" - I $\\mathbb{R}^3$: Kartesiske, sfæriske/kugle, cylinder/semi-polære koordinater"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c3bbb6b1",
"metadata": {},
"source": [
"## Forberedelse og pensum"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "81c408a7",
"metadata": {},
"source": [
"* Læsepensum: Resten af kapitel 6 \n",
"* Python [demo](../demos/demo08_integration_i_flere_dimensioner)\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0711d5ab",
"metadata": {},
"source": [
"___\n",
"\n",
"## Opgaver -- Store Dag"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e727ed80",
"metadata": {},
"source": [
"### 1: Planintegraler over rektangler. Håndregning"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b93701c0",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "770ab2f9",
"metadata": {},
"source": [
"Betragt området $B=\\left\\lbrace (x,y) \\bigm| 0\\leq x\\leq 2 \\wedge -1\\leq y\\leq 0\\right\\rbrace$ i $\\mathbb{R}^2$. Udregn planintegralet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_B (x^2y^2+x) \\mathrm{d}\\pmb{x} \n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"via formlen for dobbelt integraler over (akseparallelle) rektangler."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "be83b943",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c25d79fa",
"metadata": {},
"source": [
"Vi vil udregne samme planintegral igen, men på en umiddelbart mere kompliceret måde, nemlig via Transformationssætningen for integraler over $\\mathbb{R}^2$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "95018419",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "983ab699",
"metadata": {},
"source": [
"Udregn planintegralet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_B \\frac{y}{1+xy} \\;\\mathrm{d}\\pmb{x}, \\quad\\text{hvor}\\quad B=\\left\\lbrace (x,y) \\mid 0\\leq x\\leq 1 \\, \\wedge \\, 0\\leq y\\leq 1\\right\\rbrace \n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "bb6d9395",
"metadata": {},
"source": [
"### 2: Polære koordinater. Håndregning"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ed627fea",
"metadata": {},
"source": [
"En funktion $f:\\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}$ er givet ved\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" f(x,y)=x^2-y^2\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"For et givet punkt $\\pmb{x}=(x,y)$ i planen betegner $r = \\Vert \\pmb{x} \\Vert$ punktets afstand til origo $(0,0)$. Tilsvarende betegner $\\theta$ vinkel mellem $x$-aksen og punktets stedvektor, regnet med fortegn i omdrejningsretningen mod uret. En punktmængde $B$ er i polære koordinater beskrevet som de punkter for hvilket \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" 0\\leq r \\leq a \\, \\text{ og } \\, -\\frac{\\pi}{4} \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{2},\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"hvor $a$ er et vilkårligt positivt reelt tal."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "545e7177",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "8108dde2",
"metadata": {},
"source": [
"Lav en skitse af $B$, og bestem arealet af $B$ både ved integration og elementær geometrisk betragtning."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "4f4202c8",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "36c3429e",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem planintegralet $\\int_B f(x,y) \\;\\mathrm{d}\\pmb{x}$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "1b31a8be",
"metadata": {},
"source": [
"### 3: Volumen af et parallellotop"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0dbbcc54",
"metadata": {},
"source": [
"Et parallellotop $P$ i $\\mathbb{R}^n$ \"udspændt\" af vektorerne $\\pmb{a}_1, \\pmb{a}_2, \\dots, \\pmb{a}_n$ defineres ved:\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" P = \\left\\{ \\pmb{y} \\in \\mathbb{R}^n \\mid \\, \\pmb{y} = A\\pmb{x}, \\quad \\text{hvor } x_i \\in [0,1] \\text{ for $i=1,2,\\dots, n$} \\right\\}\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"hvor $A = [\\pmb{a}_1 | \\pmb{a}_2 | \\cdots | \\pmb{a}_n]$ er $n \\times n$ matricen hvis $i$'te søjle er $\\pmb{a}_i$. Punktmængden kan kort skrives $P=A([0,1]^n)$. \n",
"\n",
"Det kan vises med værktøjer *kun* fra Matematik 1a (specielt karakteriseringen af determinanten) at det $n$-dimensionale volumen af $P$ er:\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathrm{vol}_n(P) = |\\mathrm{det}(A)| \n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"(For den interesserede studerende: et sådant bevis findes her https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html)\n",
"\n",
"I $\\mathbb{R}^2$ er et parallellotop det velkendte pallellogram, og $\\mathrm{vol}_n(P)$ er arealet af $P$, mens man i $\\mathbb{R}^3$ genfinder parallelepipedummet og det almindelige volumen."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "10cc0d9b",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7d5e076b",
"metadata": {},
"source": [
"Vis $\\mathrm{vol}_n(P) = |\\mathrm{det}(A)|$ ved hjælp af Transformationssætningen for integraler over $\\mathbb{R}^n$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "d80ac7fd",
"metadata": {},
"source": [
"*I resten af opgaven ønsker vi at undersøge udsagnet $\\mathrm{vol}_n(P) = |\\mathrm{det}(A)|$ uden brug af integrationsteknikker.*"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e81975f2",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "dab5d541",
"metadata": {},
"source": [
"Lad $n=2$. Vælg to lineært uafhængige vektorer $\\pmb{a}_1, \\pmb{a}_2$ i $\\mathbb{R}^2$. Du kan med fordel vælge $\\pmb{a}_1 \\in \\mathrm{span}(\\pmb{e}_1)$. Udregn (ved simple geometriske overvejelser) arealet af parallellogrammet \"udspændt\" af de to vektorer. Udregn også $|\\mathrm{det}(A)|$ og sammenlign størrelserne."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "390761de",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "73c9c68c",
"metadata": {},
"source": [
"Lad $n=2$ og lad nu $\\pmb{a}_1, \\pmb{a}_2$ være vilkårlige, men lineært uafhængige vektorer i $\\mathbb{R}^2$. Kan du bevise formlen $\\mathrm{areal}(P) = |\\mathrm{det}(A)|$, hvor $P$ er parallellogrammet \"udspændt\" af de to vektorer. Du kan antage (hvorfor?) at $\\pmb{a}_1 \\in \\mathrm{span}(\\pmb{e}_1)$ hvis det gør dit argument lettere."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "a3d0ee59",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål d"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "856dde00",
"metadata": {},
"source": [
"Lad $n=3$. Vælg tre lineært uafhængige vektorer $\\pmb{a}_1, \\pmb{a}_2, \\pmb{a}_3$ i $\\mathbb{R}^3$. Du kan med fordel vælge $\\pmb{a}_1, \\pmb{a}_2 \\in \\mathrm{span}(\\pmb{e}_1, \\pmb{e}_2)$. Udregn (ved simple geometriske overvejelser) volumen af parallelepipedummet \"udspændt\" af de tre vektorer. Udregn også $|\\mathrm{det}(A)|$ og sammenlign størrelserne."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e26ac70e",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål e (frivillig/ekstra)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7f37be29",
"metadata": {},
"source": [
"Lad $n=3$ og lad nu $\\pmb{a}_1, \\pmb{a}_2, \\pmb{a}_3$ være vilkårlige, men lineært uafhængige vektorer i $\\mathbb{R}^3$. Kan du bevise formlen $\\mathrm{areal}(P) = |\\mathrm{det}(A)|$, hvor $P$ er parallelepipedummet \"udspændt\" af de tre vektorer. Du kan antage (hvorfor?) at $\\pmb{a}_1, \\pmb{a}_2 \\in \\mathrm{span}(\\pmb{e}_1, \\pmb{e}_2)$, hvis det gør dit argument lettere."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ba3c5aff",
"metadata": {},
"source": [
"### 4: Planintegral med parametrisering I"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c8a97930",
"metadata": {},
"source": [
"I $(x,y)$-planen er der givet punktet $P_0=(1,2)$ og punktmængden \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" C=\\left\\lbrace (x,y)\\Big\\vert \\frac 32\\leq y \\leq \\frac 52 \\wedge 0\\leq x\\leq \\frac 12 y^2\\right\\rbrace\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f036abbe",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "1f283a90",
"metadata": {},
"source": [
"Lav en foreløbig skitse af $C$ og angiv en parameterfremstilling $\\pmb{r}(u,v)$ for $C$ med passende intervaller for $u$ og $v$, dvs angiv $\\Gamma$ så $\\pmb{r}(\\Gamma)=C$. Argumentér for at den valgte parametrisering er injektiv (hvis den valgte parametrisering ikke er injektiv, skal du finde en ny)."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f9d86fe8",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "8e56e89c",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem de to parameterværdier $u_0$ og $v_0$ således at $\\pmb{r}(u_0,v_0)=P_0$.\n",
"Lav en illustration af $C$ (fx med Sympy) hvor du udfra $P_0$ afsætter tangentvektorerne $\\pmb{r}'_u(u_0,v_0)$ og $\\pmb{r}'_v(u_0,v_0)$. Bestem arealet af det parallelogram som udspændes af tangentvektorerne, jf. Opgave [](exercise:volumen-af-et-parallellotop)."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c3d107c6",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "20a282cd",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem den til $\\pmb{r}(u,v)$ hørende Jacobi-determinant og argumenter for at de to søjle-vektorer i Jacobi-matricen er lineært uafhængige for alle $(u,v) \\in \\Gamma$. Udregn Jacobi-determinanten i punktet $(u_0,v_0)$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0161789b",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål d"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "828589b9",
"metadata": {},
"source": [
"Udregn planintegralet: \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_C \\frac{1}{y^2+x} \\mathrm{d}\\pmb{x}\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"via Transformationssætningen for integraler over $\\mathbb{R}^2$. Du skal argumentere for at Transformationssætningen kan bruges."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "8bf18c3d",
"metadata": {},
"source": [
"### 5: Planintegral med parametrisering II"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7cc2d3c6",
"metadata": {},
"source": [
"Vi skal bestemme planintegralet\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_B 2xy\\,\\mathrm{d} \\pmb{x} \\quad\\text{hvor}\\quad B=\\left\\lbrace (x,y) \\mid 0\\leq x \\, \\wedge \\, 0\\leq y, x+y\\leq 1\\right\\rbrace\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Følg de nedenstående trin."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c409d023",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "26d16f4d",
"metadata": {},
"source": [
"Skitsér først området $B$. Bestem derefter en parameterfremstilling for $B$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "d8a72feb",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9d821de0",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem den Jacobi-determinant, som svarer til denne parametrisering. Er Jacobi-determinanten forskellig fra nul på det indre af parameterområdet (som kræves af Transformationssætningen)?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "8bfb4e72",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9d7dc072",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem nu det ønskede integral."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "94b401ca",
"metadata": {},
"source": [
"### 6: Partiel integration og substitution i to variable"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "180e7dd2",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e71fe8dd",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem $\\displaystyle{\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\left(\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} u\\cos(u+v)\\mathrm{d}u\\right)\\mathrm{d}v.}$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "4d5a8376",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "fd617b2c",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem $\\displaystyle{\\int_0^1\\left(\\int_0^1 \\frac{v}{(uv+1)^2}\\mathrm{d}u\\right)\\mathrm{d}v.}$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "939c48b7",
"metadata": {},
"source": [
"### 7: Et tripelintegral"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "472e6a2d",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem trippelintegralet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\displaystyle{\\int_1^2\\int_1^2\\int_1^2 \\frac{xy}{z} \\mathrm dx\\mathrm dy\\mathrm dz.}\\\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "be7959fd",
"metadata": {},
"source": [
"----"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3be98c9f",
"metadata": {},
"source": [
"## Opgaver -- Lille Dag"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "d71431a7",
"metadata": {},
"source": [
"> Bemærk: På engelsk kaldes $|\\det{\\pmb{J}_{\\pmb{r}}(\\pmb{u})}|$ ofte for \"the Jacobian\". På dansk vil man nok kalde den \"Jacobianten\" eller bruge den fulde beskrivelse: \"absolut-værdien af determinanten af Jacobi-matricen\". På DTU kaldes den undertiden for \"Jacobi-funktionen\", men dette er ikke en betegnelse der bruger uden for DTU - og man tales således ikke om \"the Jacobi function\" i engelsk sproget litteratur."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "92817ea5",
"metadata": {},
"source": [
"### 1: Parametriseret rumligt område. Håndregning."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "daa0590c",
"metadata": {},
"source": [
"Et område $B$ i $(x,y,z)$-rummet er givet ved parameterfremstillingen \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{r}(u,v,w)=\\big(\\frac{1}{2}u^2-v^2,-uv,w\\big),\\quad u\\in \\left[ 0,2\\right],v\\in \\left[ 0,2\\right],w\\in \\left[ 0,2\\right]\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b88c50a9",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "74e72d39",
"metadata": {},
"source": [
"I $B$ er der givet punktet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{x}_0=\\pmb{r}(1,1,1)\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Find $\\pmb{x}_0$. Afsat ud fra $\\pmb{x}_0$ udspænder tangentvektorerne $\\pmb{r}_u'(1,1,1),\\pmb{r}_v'(1,1,1)$ og $\\pmb{r}_w'(1,1,1)$ et parallelepipedum $P$, jf. Opgave [](exercise:volumen-af-et-parallellotop). Bestem volumen af dette parallelepipedum. Illustrér evt. med Sympy."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c9b0bf41",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ff6a42e3",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem absolut-værdien af Jacobi-determinanten der hører til $\\pmb{r}$. Evaluer den i $\\pmb{x}_0$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "94181ff9",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5ea12561",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem voluminet af $B$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f01b612d",
"metadata": {},
"source": [
"### 2: Massefordelinger i $(x,y)$-planen"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e0525762",
"metadata": {},
"source": [
"Betragt punktmængderne i $\\mathbb{R}^2$ givet ved:\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" B=\\left\\lbrace (x,y)\\vert 1\\leq x\\leq 2 \\, \\wedge \\, 0\\leq y\\leq x^3\\right\\rbrace\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"og (igen)\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" C=\\left\\lbrace (x,y)\\Big\\vert \\frac 32\\leq y \\leq \\frac 52 \\wedge 0\\leq x\\leq \\frac 12 y^2\\right\\rbrace.\n",
"\\end{equation*} \n",
"\n",
"Vi opfatter $f(x,y)$ som massetætheden/massefylden (kg/m$^2$) i punktet $(x,y)$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "2a7edbef",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "50721fa4",
"metadata": {},
"source": [
"Antag massetætheden er konstant $f(x,y)=1$ for $(x,y)\\in B$. Bestem massen og massemidtpunktet af $B$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b2b2fdda",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f28801f9",
"metadata": {},
"source": [
"Antag massetætheden er $f(x,y)=x^2$ for $(x,y)\\in B$. Bestem massen og massemidtpunktet af $B$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b55a7934",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "30d42d0b",
"metadata": {},
"source": [
"Antag massetætheden er konstant $f(x,y)=1$ for $(x,y)\\in C$. Bestem massen og massemidtpunktet af $C$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ed034081",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål d"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "35b0e8fd",
"metadata": {},
"source": [
"Antag massetætheden er $f(x,y)=x^2$ for $(x,y)\\in C$. Bestem massen og massemidtpunktet af $C$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "fa372bb5",
"metadata": {},
"source": [
"### 3: Kugleformede områder i rummet"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f153aca1",
"metadata": {},
"source": [
"Betragt det rumlige område $\\pmb{r}(\\Gamma)$ givet ved \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{r}(u,v,w)=\\big(u\\sin(v)\\cos(w),u\\sin(v)\\sin(w),u\\cos(v)\\big), \\quad (u,v,w) \\in \\Gamma, \n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"hvor $\\Gamma = [a,b] \\times [c,d] \\times [e,f] \\subset [0, \\infty[ \\times [0,\\pi] \\times [0,2\\pi]$. Vi betragter altså følgende parameterværdier:\n",
"$u\\in [a,b],v\\in [c,d],w\\in [e,f]$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "85402aa9",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f311a005",
"metadata": {},
"source": [
"Hvilken betydning har parametrene?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5a0fe78f",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b\n",
"\n",
"Lad $A$ være det område der er bestemt ved valget: \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" a=1,b=3,c=\\frac{\\pi}{4},d=\\frac{\\pi}{3},e=0,f=\\frac{3\\pi}{4}\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"og $B$ ved valget \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" a=2,b=4,c=\\frac{\\pi}{4},d=\\frac{\\pi}{2},e=-\\frac{\\pi}{4},f=\\frac{\\pi}{4}\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f8879251",
"metadata": {},
"source": [
"Beskriv i ord hvert af områderne $A$, $B$ og $A\\cap B$, og bestem deres volumen.\n",
"\n",
"\n",
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "a6780c21",
"metadata": {},
"source": [
"Find integralerne \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_A x_1 \\, \\mathrm{d}\\pmb{x}, \\quad \\int_Bx_1 \\, \\mathrm{d}\\pmb{x} \\quad \\text{og} \\quad \\int_{A\\cap B}x_1 \\, \\mathrm{d}\\pmb{x}\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3dd4cb0f",
"metadata": {},
"source": [
"### 4: Et uegentligt integral i planen\n",
"\n",
"Lad $B$ være enhedskvadratet $[0,1]^2$. Vi vil undersøge det uegentlige planintegral \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" I := \\int_B \\frac{1}{x_2-x_1-1} \\mathrm{d}\\pmb{x} \n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Integranden $f(x_1,x_2)=\\frac{1}{x_2-x_1-1}$ er ikke Riemann-integrabel over $B$, da $f$ ikke er defineret i punktet $(x_1,x_2)=(0,1)$. Vi ønsker at finde ud af om vi alligevel kan tillægge integralet en værdi via grænseovergang."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "bc7f7dc6",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9d4e3f54",
"metadata": {},
"source": [
"Find de punkter i planen $(x,y)$ hvor $f(x_1,x_2)$ ikke er defineret. Find værdimængden af $f$ som funktion på $B \\setminus \\{(0,1)\\}$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6dbfbfed",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b01e7267",
"metadata": {},
"source": [
"Lad $B_a = [a,1] \\times [0,1]$ for et fast $a \\in [0,1]$. Lav en skitse af $B_a$ og lav en parametrisering af $B_a$. Udregn Jacobi-determinanten af parametriseringen."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "2d095626",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3ca676bd",
"metadata": {},
"source": [
"Udregn Riemann-integralet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" I_a := \\int_{B_a} \\frac{1}{x_2-x_1-1} \\mathrm{d}\\pmb{x} \n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"for hvert $a \\in ]0,1]$.\n",
"\n",
"#### Spørgsmål d"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "80791a6c",
"metadata": {},
"source": [
"Udregn grænsen af $I_a$ for $a \\to 0$. \n",
"\n",
"\n",
"#### Spørgsmål e\n",
"\n",
"Lad $B_b = [0,1] \\times [0,b]$. Definer $I_b := \\int_{B_b} \\frac{1}{x_2-x_1-1} \\mathrm{d}\\pmb{x} $. Find $\\lim_{b \\to 1} I_b$ og sammenlign med overstående."
]
}
],
"metadata": {
"jupytext": {
"formats": "md:myst"
},
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
"language": "python",
"name": "python3"
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 5
}