{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"id": "64b133bf",
"metadata": {},
"source": [
"# Uge 9: Integration af vektorfelter"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "19901f0b",
"metadata": {},
"source": [
"## Nøglebegreber"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "bbffbe3f",
"metadata": {},
"source": [
"* Parameterfremstillinger for kurver og flader i $\\mathbb{R}^n$ \n",
"* Kurvelængde\n",
"* Fladens normal\n",
"* Kurve- og fladeintegralet\n",
"* Stamfunktionsproblemet i $\\mathbb{R}^n$\n",
"* Vektorfelter og gradientfelter\n",
"* Flux"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f70c2452",
"metadata": {},
"source": [
"## Forberedelse og pensum"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "4ec580a3",
"metadata": {},
"source": [
"* Læsepensum: Afsnit 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 og 7.5 i Kapitel 7 \n",
"\n",
"* Python [demo om kurve- og fladeintegral](../demos/demo09_kurve_og_fladeintegraler)\n",
"* Python [demo om vektorfelter og flux](../demos/demo09_vektorfelter_og_flux)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6b6342eb",
"metadata": {},
"source": [
"___\n",
"\n",
"\n",
"> Kurveintegralet af et vektorfelt langs en kurve kaldes på DTU (men ikke mange andre steder) ofte for *det tangentielle kurveintegral*. I engelsk-litteratur hedder integralet *the line integral of the vector field*.\n",
"\n",
"> Med jacobianten mener vi jacobi-funktionen $\\sqrt{\\det(\\pmb{J}^T \\pmb{J})}$ (dvs forvrængnings-faktoren, altså den areal/volumen-korrigerende faktor), der også kaldes den geometriske tensor. Jacobi-matricen og Jacobi-determinanten skrives fuldt ud i opgaverne. Både på dansk og engelsk bruges ordet \"jacobianten/jacobian\" om alle tre begreber, og man bør derfor være påpasselig med at bruge ordet \"jacobianten/jacobian\". Oftest bruges \"jacobian\" dog om forvrængning-faktoren, og vi bruger denne tradition."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "566ec15f",
"metadata": {},
"source": [
"## Opgaver (samlet for store og lille dag)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "26e86e76",
"metadata": {},
"source": [
"### 1: Kurveintegral af en skalar funktion. Håndregning."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ab5ab545",
"metadata": {},
"source": [
"I $(x,y,z)$-rummet betragtes cirklen $\\mathcal{C}$ givet ved \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{C}=\\left\\{(x,y,z)\\in \\mathbb{R}^3 \\mid x^2+(y-1)^2=4 \\wedge z=1\\right\\}.\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "97beac2d",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "2f5b2f3f",
"metadata": {},
"source": [
"Angiv centrum og radius for $\\mathcal{C}$. Vælg en parameterfremstilling $\\pmb r(u)$ for $\\mathcal{C}$ svarende til ét gennemløb af cirklen. Bestem den til parameterfremstillingen svarende Jacobiant."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "a5db269b",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "001e1639",
"metadata": {},
"source": [
"Givet funktionen $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$. Bestem restriktionen $f(\\pmb r(u))$ og bestem kurveintegralet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
"\\int_\\mathcal{C} f(x,y,z)\\mathrm{d}s\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f7e7e4bc",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "4d2aacb2",
"metadata": {},
"source": [
"I bogen nævnes det at kurveintegralet er uafhængigt af den valgte parameterfremstilling for cirklen. Afprøv andre parameterfremstillinger, fx via re-parametriseringer (som $t=-2\\pi u$), og udregn kurveintegralet baseret på dem. Du kan fx ændre omløbsretningen eller gennemløbshastigheden."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7cbdfe68",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål d"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "1c9df516",
"metadata": {},
"source": [
"Er kurveintegralet afhængigt af cirklens beliggenhed? Prøv fx at parallelforskyde cirklen $1$ i $y$-aksens retning, og udregn kurveintegralet på ny."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e9cbd3c0",
"metadata": {},
"source": [
"### 2: Længden af et hængende kabel."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "62bf180b",
"metadata": {},
"source": [
"Vi betragter et ikke-elastisk, frithægende kabel ophængt mellem to master, der kun er påvirket af tyngdekraften (og trækkraften i kablet). Den matematisk form vi bruger er en kædelinje (også kaldet en katenær-kurve). Ligningen er \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" y = a \\cosh (x/a)\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"hvor $a$ er afstanden til det laveste punkt over $x$-aksen. Vi antager kablet er fasthængt i $y=5$ (dvs. $y \\in [a,5]$)."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "13d93797",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7ab8cb61",
"metadata": {},
"source": [
"Antag $0 < a \\le 5$. Angiv en parametrisering for kurven\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\mathcal{C}_a = \\{ (x,y) \\in \\mathbb{R}^2 \\mid y = a \\cosh (x/a) \\, \\wedge \\, y \\le 5\\}.\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Specielt skal parameterintervallet angives (brug gerne SymPy's `solve`). Dernæst skal normen af tangent-vektoren (dvs jacobianten) udregnes."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ba79a4c5",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "92ecf1dc",
"metadata": {},
"source": [
"Plot kurven for $a=0.5, a=1, a=2$. Opskriv integralformlen for længden af kurven $\\mathcal{C}_a$. Find en decimaltals approksimation af længden af kurverne $\\mathcal{C}_{0.5}$, $\\mathcal{C}_1$ og $\\mathcal{C}_2$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "600dc4b8",
"metadata": {},
"source": [
"### 3: Kurveintegral af vektorfelt I. Håndregning"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5175c90b",
"metadata": {},
"source": [
"I $(x,y)$-planen er der givet et vektorfelt \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{V}: \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}^2, \\quad \\pmb{V}(x,y)=(x^2-2xy,y^2-2xy)\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"samt en kurve $\\mathcal{C}$ givet ved ligningen\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" y=x^2, \\quad x\\in\\left[ -1,1\\right].\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "8f245b11",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "4f938e37",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem en parametrisering af $\\mathcal{C}$. Udregn Jacobianten og tjek at din parametrisering er regulær."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "beaef80c",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0f4d482a",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem nu det tangentielle kurveintegral \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_\\mathcal{C}\\pmb{V}\\cdot \\mathrm{d} \\pmb{s}.\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "1b9035f7",
"metadata": {},
"source": [
"### 4: Kurveintegral af vektorfelt II. Håndregning"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7075c8fe",
"metadata": {},
"source": [
"I $(x,y,z)$-rummet er der givet et vektorfelt\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{V}: \\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{R}^3, \\quad \\pmb{V}(x,y,z)=(y^2-z^2,2yz,-x^2)\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"samt en kurve $\\mathcal{C}$ med parameterfremstillingen\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{r}(u)=(u,u^2,u^3), \\quad u\\in\\left[ 0,1\\right] .\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "014ae884",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "a1a1d919",
"metadata": {},
"source": [
"Argumenter for at $\\pmb{r}$ er en regulær $C^1$ parameterfremstilling."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "a8999a04",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ec1d8be8",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem det tangentielle kurveintegral\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_\\mathcal{C}\\pmb{V}\\cdot \\mathrm{d} \\pmb{s}.\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "4a192518",
"metadata": {},
"source": [
"### 5: Integration af vektorfelt langs trappelinje"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "54dea6bb",
"metadata": {},
"source": [
"I planen betragtes et vilkårligt punkt $\\pmb{x}=(x_1,x_2)$ og vektorfeltet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{V}: \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}^2, \\quad \\pmb{V}(x_1,x_2)=(x_1x_2,x_1).\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "65c2c937",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "76be18a0",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem det tangentielle kurveintegral af $\\pmb{V}$ langs den rette linje $\\mathcal{C}$ fra $\\pmb{x}_0=\\pmb{0}$ til $\\pmb{x}$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "14275a2f",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c9f4c14d",
"metadata": {},
"source": [
"> Ved *trappelinjen* fra $\\pmb{x}_0=\\pmb{0}$ til $\\pmb{x}$ forstås den stykkevis rette linje der går fra $(0,0)$ til punktet $(x_1,0)$ og derefter fra $(x_1,0)$ til $(x_1,x_2)$ \n",
"\n",
"På et stykke papir med $(x_1,x_2)$-koordinatsystem: Skitsér trappelinjen for forskellige valg af $\\pmb{x}$. Bestem derefter det tangentielle kurveintegral af $\\pmb{V}$ langs trappelinjen $\\mathcal{T}$ fra $\\pmb{x}_0=\\pmb{0}$ til $\\pmb{x}$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6566bc79",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "1bf2fece",
"metadata": {},
"source": [
"Afgør ud fra dine svar på spørgsmål a) og b) om $\\pmb{V}$ er et gradientvektorfelt."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ce791dff",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål d"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "68109f49",
"metadata": {},
"source": [
"Der er en lettere måde at afgøre om et vektorfelt er et gradientvektorfelt (i hvert fald når vektorfeltet er defineret på hele $\\mathbb{R}$). Hvad er denne måde?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f171aafa",
"metadata": {},
"source": [
"### 6: Stamfunktionsproblemet i $\\mathbb{R}^3$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "d6239084",
"metadata": {},
"source": [
"I rummet betragtes et vilkårligt punkt $\\pmb{x}=(x_1,x_2,x_3)$, vektorfeltet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{V}: \\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{R}^3, \\quad \\pmb{V}(x_1,x_2,x_3)=\\begin{bmatrix} x_2\\cos (x_1 x_2) \\\\ x_3+x_1 \\cos (x_1x_2) \\\\ x_2 \\end{bmatrix}\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"og vektorfeltet\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\frac{1}{1+x_1^2x_2^2+2x_1 x_2x_3^2+x_3^4} \\begin{bmatrix} \n",
" x_2 \\\\ x_1 \\\\ 2x_3 \n",
"\\end{bmatrix}.\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "04f3ed69",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "09fe49f7",
"metadata": {},
"source": [
"Udregn Jacobi-matricen for $\\pmb{V}$. Er $\\pmb{V}$ et gradientvektorfelt?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "27c85c5e",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "eb69d817",
"metadata": {},
"source": [
"Angiv samtlige stamfunktioner for $\\pmb{V}$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f325bede",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "547e0f05",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem ved hjælp af Sympy det tangentielle kurveintegral af $\\pmb{W}$ langs en ret linje fra $\\pmb{0}$ til det vilkårligt punkt $\\pmb{x}$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "dcab402f",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål d"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5692127c",
"metadata": {},
"source": [
"Undersøg om $\\pmb{W}$ er et gradientvektorfelt og angiv i bekræftende fald samtlige stamfunktioner."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "24d06139",
"metadata": {},
"source": [
"### 7: Vektorfelt over en cirkelskive"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3f3facb1",
"metadata": {},
"source": [
"Lad $U = \\{ (x,y) \\mid \\frac{1}{4} < x^2 + y^2 < 1 \\}$ være givet. Betragt vektorfeltet\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\frac{1}{x^2+y^2} \\begin{bmatrix} \n",
" -y \\\\ x \n",
"\\end{bmatrix}.\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e9b9dd1d",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "1a636194",
"metadata": {},
"source": [
"Er domænet $U$: \n",
"\n",
"1. åbent? \n",
"1. begrænset?\n",
"1. kurve-sammenhængende? \n",
"1. enkelt-sammenhængende? \n",
"1. stjerne-formet? \n",
"\n",
"Afgør i hver af de fem tilfælde om svaret er ja eller nej."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "19c5dbcb",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "81213b4f",
"metadata": {},
"source": [
"Afgør om $\\pmb{V}$ er $C^0$ og $C^1$. Find Jacobi-matricen for $\\pmb{V}$ og afgør om den er symmetrisk."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "935d99cb",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "cdb37ce9",
"metadata": {},
"source": [
"Find gradienten af arkustangens-funktionen $f(x,y) = \\mathrm{atan2}(y,x)$. Funktioen er givet i SymPy ved `f = atan2(y,x)` og er en variant af $\\arctan(y/x)$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5dd23849",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål d\n",
"\n",
"Plot funktionen $f$ på $U$. Er $f(x,y)$ en stamfunktion til $\\pmb{V}$?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "13d51812",
"metadata": {},
"source": [
"### 8: En meget lang kurve"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "1510a798",
"metadata": {},
"source": [
"Den lineære spiral kurve $\\mathcal{C}$ i $\\mathbb{R}^2$ er parametriseret ved $\\pmb{r}: [0,1] \\to \\mathbb{R}^2$ hvor \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{r}(u) = \n",
" \\begin{cases} \n",
" (0,0) & \\text{for } u = 0 \\\\\n",
" (u \\cos(1/u), u \\sin(1/u)) & \\text{for } u \\in ]0,1]\n",
" \\end{cases}\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Bemærk at domænet for $\\pmb{r}$ er begrænset og lukket (ganske som vi plejer at have det). Det kan yderligere vises at kurven er kontinuert, altså $C^0$, men ikke $C^1$. I bogen i kapitel 7 kræver vi at kurverne er $C^1$, da der kan ske uventede ting når kurverne ikke er $C^1$. Det vil vi illustrere i denne opgave."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b579b386",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f6a490d7",
"metadata": {},
"source": [
"Plot kurven. Vis (gerne ved hjælp af Python) at normen af tangent-vektoren er \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\Vert \\pmb{r}'(u) \\Vert = \\sqrt{1 + u^{-2}} \n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"for $u \\in ]0,1]$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3e45da2d",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "2bf51254",
"metadata": {},
"source": [
"Lad $\\epsilon < 1$. Udregn længden $\\ell_\\epsilon$ af kurven $\\pmb{r}(u)$ for $u \\in [\\epsilon,1]$. Find $\\lim_{\\epsilon \\to 0} \\ell_\\epsilon$. Hvad er længden $\\ell_0$ af kurven $\\mathcal{C}$?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b9ba2695",
"metadata": {},
"source": [
"### 9: Overfladearealet at en kugle\n",
"\n",
"Vi betragter en kugle i $\\mathbb{R}^3$ med centrum i $(0,0,0)$ og radius $a > 0$. Betragt kuglens rand (også kaldet sfæren)\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\{ \\pmb{x} \\in \\mathbb{R}^3 \\mid \\Vert \\pmb{x} \\Vert = a \\}\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Overfladearealet af kuglen er (kendt fra skolen) $4 \\pi a^2$. Genfind dette udtryk ved hjælp af et fladeintegral og en parametrisering af sfæren."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e86f6e08",
"metadata": {},
"source": [
"### 10: Flux gennem parameterflader. Håndregning"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "5363cd23",
"metadata": {},
"source": [
"Givet et vektorfelt \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{V}: \\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{R}^3, \\quad \\pmb{V}(x,y,z)=(\\cos(x),\\cos(x)+\\cos(z),0)\n",
"\\end{equation*} \n",
"\n",
"samt en flade $\\mathcal{F}$, som er givet ved parameterfremstillingen\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{r}(u,v)=(u,0,v), \\quad u\\in\\left[ 0,\\pi\\right] ,\\quad v\\in\\left[ 0,2\\right] .\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c72d255a",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6ff89eb7",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor $\\pmb{n}_{\\mathcal{F}}(u,v)$. Argumenter for at parameterfremstilligen er regulær. Beregn dernæst vektorfeltets flux gennem fladen."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0cc62bda",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "8364aecd",
"metadata": {},
"source": [
"Hvilken betydning har fluxens fortegn? Kan du skifte fortegnet for fluxen ved at ændre fladens parameterfremstilling?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "537fd33e",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "2173a751",
"metadata": {},
"source": [
"Givet et vektorfelt \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{V}: \\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{R}^3, \\quad \\pmb{V}(x,y,z)=(yz,-xz,x^2+y^2)\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"samt en flade $\\mathcal{F}$, som er givet ved parameterfremstillingen \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{r}(u,v)=(u\\sin(v),-u\\cos( v),uv), \\quad u\\in\\left[ 0,1\\right] ,\\quad v\\in\\left[ 0,1\\right] .\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor $\\pmb{n}_{\\mathcal{F}}(u,v)$. Argumenter for at parameterfremstilligen er regulær. Beregn vektorfeltets flux gennem fladen."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "6be9bc37",
"metadata": {},
"source": [
"### 11: Coulomb-vektorfeltet"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "d5b9c97f",
"metadata": {},
"source": [
"Coulomb (1736-1806) arbejdede med elektromagnetisme. Fra hans arbejde kendes det såkaldte Coulomb-vektorfelt: \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{V}: \\mathbb{R}^3\\setminus \\{(0,0,0)\\} \\to \\mathbb{R}^3, \\quad \\pmb{V}(x,y,z)= \\left(x^2+y^2+z^2\\right)^{-\\frac32}\n",
"\\begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{bmatrix}.\n",
"\\end{equation*} \n",
"\n",
"Bemærk at Coulomb-vektorfeltet ikke kan defineres på hele $\\mathbb{R}^3$. Der gælder dog at definitionsmængden $U = \\mathbb{R}^3\\setminus \\{(0,0,0)\\}$ er åben, som er standard-antagelsen for vetorfelter i bogen. \n",
"\n",
"En massiv cylinder $B$ af højde $2h$ og diameter $2a$, hvor $a$ og $h$ er positive reelle tal, er givet ved parameterfremstillingen\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{r}(u,v,w)=\\left(u\\cos(w),u\\sin(w),v\\right), \\quad u\\in\\left[0,a\\right], \\; v\\in[-h,h], \\; w\\in \\left[-\\pi,\\pi\\right].\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e546abac",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "634e3a4f",
"metadata": {},
"source": [
"Tegn en skitse af $B$ (det er nemmest med papir og blyant) og bestem en parameterfremstilling for hver af de tre stykker som randen $\\partial B$ af $B$ består af: Bunden, toppen og den rørformerede del."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "b7a59e66",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "d06a3a9f",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem fluxen af $\\pmb{V}$ ud gennem $\\partial B$:\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_{\\partial B} \\pmb{V} \\cdot \\mathrm{d} \\pmb{S}\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"ved at beregne fluxen gennem hver af de tre stykker som $\\partial B$ består af. Hvad betyder egentlig størrelsen af cylinderen for fluxens styrke? Og i forlængelse heraf: Hvad er grænseværdien af fluxens styrke for $a$ og $h$ gående mod 0?"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "c57d17d3",
"metadata": {},
"source": [
"### 12: Flux via Divergens-sætningen"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e8142565",
"metadata": {},
"source": [
"Divergens-sætningen er ikke en del af pensum, men vi skal i denne opgave alligevel stifte bekendtskab med den:\n",
"\n",
"------\n",
"> Theorem (Divergence): Let $\\pmb{V}$ be a $C^1$ vector field on an open set $U\\subseteq \\mathbb{R}^3$, and let $B \\subseteq U$ be a bounded subset with a piecewise $C^1$ boundary $\\mathcal{F}=\\partial B$. Suppose $\\pmb{r}: \\Gamma \\to \\mathbb{R}^3$, $\\Gamma \\subset \\mathbb{R}^2$, is a parametrization of the surface $\\mathcal{F}$ with outward-pointing normal. Then \n",
"> \\begin{equation}\n",
" \\int_{\\partial B} \\pmb{V} \\cdot \\mathrm{d} \\pmb{S}\n",
" =\\int_{B}\\mathrm{div} (\\pmb{V}) \\, \\mathrm{d} X.\n",
"\\end{equation}\n",
"-------\n",
"\n",
"Divergensen $\\mathrm{div} (\\pmb{V})$ er defineret som sporet af Jacobi-matricen:\n",
"\n",
"\\begin{equation}\n",
" \\mathrm{div} (\\pmb{V}) = \\mathrm{tr} (\\pmb{J}_{\\pmb{V}})\n",
"\\end{equation}\n",
"\n",
"Hvis vi tænker på vektorfeltet som hastighedsfeltet for en væske, så\n",
"måler divergensen den infinitisimale udvidelse- eller sammentræknings-rate af\n",
"væsken. Hastighedsfeltet af en inkompressibel væske har nul\n",
"divergens.\n",
"\n",
"\n",
"Givet $C^1$-vektorfeltet \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{V}: \\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{R}^3, \\quad \\pmb{V}(x,y,z)=(-8x,8,4z^3)\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"og et rumligt område\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\Omega=\\lbrace (x,y,z)\\,\\vert\\, x^2+y^2+z^2\\leq a^2\\,\\, \\mathrm{og}\\,\\, z\\geq 0\\rbrace\\,,\\,a>0,\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"hvis overflade $\\,\\partial \\Omega\\,$ er orienteret med udadrettet enhedsnormalvektorfelt $\\,\\pmb n_{\\,\\partial \\Omega}\\,$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "ff3fa2fb",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "8f6168f3",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem rumintegralet\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_{\\Omega}\\mathrm{div}(\\pmb{V})\\, \\mathrm{d} X.\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "815afe96",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "7e766840",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem fladeintegralet for vektorfeltet: \n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\int_{\\partial\\,\\Omega}\\,\\pmb{V} \\cdot \\mathrm{d} \\pmb{S}\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "9e6a9ec9",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "2aeeba97",
"metadata": {},
"source": [
"For hvilke $\\,a\\,$ er fluxen med det angivne normalvektor positiv (dvs. \"udstrømningen gennem $\\partial \\Omega$ er større end indstrømningen\")."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0297f454",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål d"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "0a5c9594",
"metadata": {},
"source": [
"Gauss' sætning om relationen mellem divergensintegralet og vektorfeltets fladeintegral kan ses som en generalisering af infinitisemalregningens hovedsætning:\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\left[ F(x)\\right] _a^b=\\int_a^b F'(x)\\mathrm{d}x\\,?\n",
"\\end{equation*}"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f5bd2943",
"metadata": {},
"source": [
"### 13: Flow-kurver for et vektorfelt"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "3a9653df",
"metadata": {},
"source": [
"Et lineært vektorfelt $\\pmb V$ i $(x,y)$-planen er givet ved\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb V(x,y)=\\left(\\frac 18x +\\frac 38y,\\frac 38x +\\frac 18y\\right).\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"Vi forestiller os at vi til tiden $t=0$ smider en partikel ned i et kraftfelt i punktet $(x_0,y_0)$, og vi ønsker at modellere partiklens bane (kurve) $\\pmb{r}(t)$ som funktion af tiden. Disse kurver kaldes for integral-kurver (og undertiden for flow-kurver). De er løsninger\n",
"til differentialligningssystemet:\n",
"\n",
"\\begin{equation*}\n",
" \\pmb{r}'(t) = \\pmb V(\\pmb{r}(t)), \\quad \\pmb{r}(0) = \\pmb{x}_0\n",
"\\end{equation*}\n",
"\n",
"hvor $\\pmb{x}_0$ er begyndelsespunktet.\n",
"\n",
"Ugens Python-demoer kan være en hjælp til denne opgave."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "042e2635",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "71a810d2",
"metadata": {},
"source": [
"Bestem differentialligningssystemets systemmatrix og find (gerne med Sympy's `eigenvects()`) matricens egenværdier med tilhørende egenvektorer."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "57062072",
"metadata": {},
"source": [
"#### Spørgsmål b"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "dbe5d635",
"metadata": {},
"source": [
"Integral-kurven $\\pmb{r}_1(u)$ er bestemt ved at den går gennem punktet $(0,-1)$ til tiden $u=0,$ og integral-kurven $\\pmb{r}_2(u)$ ved at den går gennem $(0,\\frac 12)$ til tiden $u=0$. Find ved hjælp af resultaterne fra spørgsmål a) og de angivne begyndelsesbetingelser en parameterfremstilling for $\\pmb{r}_1(u)$ og $\\pmb{r}_2(u)$. \n",
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"#### Spørgsmål c"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "802431df",
"metadata": {},
"source": [
"Lav en Python-illustration der både indeholder vektorfeltet og de to integral-kurver."
]
}
],
"metadata": {
"jupytext": {
"formats": "md:myst"
},
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
"language": "python",
"name": "python3"
}
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 5
}