Hjemmeopgave 1

Læs reglerne her: Hjemmeopgaver

Husk alle svar skal begrundes. Et svar uden begrundelse giver nul point.

1. Det er en god ide at lave besvarelsen direkte som Jupyter Notebook. Du kan downloade ipynb-filen direkte på denne side. Her kan du se markdown-syntaksen og fx hvordan du skriver matematiske ligninger.

2. Opgavebesvarelsen skal afleveres som PDF-fil. Hvis I har problemer med at eksportere Jupyter Notebooken som PDF, så kontakt DTU Python Support.

Opgave 1

Betragt den kvadratiske form \(q:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) med forskrift:

\[\begin{equation*} q(x_1 , x_2 , x_3)=x_1^2 +7x_2^2 +7x_3^2 +8x_1 x_2 -8x_1 x_3 +4x_2 x_3+x_1 -2x_2 +3. \end{equation*}\]

a) Angiv en sædvanlig orienteret ortonormal basis for \(\mathbb{R}^3\) hvori den kvadratiske form er reduceret (dvs. uden blandede produktled). En sædvandligt orienteret ortonormal basis er en ortonormal basis \(\beta = \pmb{u}_1, \pmb{u}_2, \pmb{u}_3\) i \(\mathbb{R}^3\) for hvilken \(U = [\pmb{u}_1, \pmb{u}_2, \pmb{u}_3]\) har determinant \(1\).

b) Angiv en forskrift for \(q\) med hensyn til denne nye basis.

c) Gør rede for at \(q\) kan antage både vilkårligt store og vilkårligt små værdier. (Du skal med andre ord vise at billedmængden/værdimængden ikke er begrænset - hverken opad eller nedad til.)

Opgave 2

Betragt funktionen \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) med forskrift:

\[\begin{equation*} f(x_1 ,x_2 )= \sin(x_1^2 +x_2 )+x_1 -x_2+3. \end{equation*}\]

a) Lav et plot i SymPy der indeholder niveaukurver og gradienten i punktet \((x_1, x_2)=(-2,1)\).

b) Redegør ud fra plottet om funktionen i punktet \((x_1, x_2)=(-2,1)\) vokser eller aftager i retningen bestemt af \(x_1\) aksen (dvs. i positiv \(x_1\)-retning).

c) Gentag spørgsmål a) og b) men nu med punktet \((x_1, x_2)=(2,-1)\).

Opgave 3

Vi betragter to funktioner \(\pmb{f}:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3\) og \(g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\).

Det oplyses at \(\pmb{f}\) har forskriften:

\[\begin{equation*} \pmb{f}(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x_2 x_3+x_1^2,-x_1 x_4 + x_2^3,x_1 x_2 x_3 x_4). \end{equation*}\]

Det oplyses yderligere at Jacobimatricen \(\pmb{J}_g \in \mathbb{R}^{1 \times 3}\) for \(g\) er givet ved:

\[\begin{equation*} \pmb{J}_g (y_1,y_2,y_3)=\begin{bmatrix} 1+y_3+2y_1 y_2 & y_1^2+2y_2 y_3^2-3 & 3+y_1+2y_3 y_2^2 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

a) Bestem Jacobimatricen \(\pmb{J}_{\pmb{f}}(1,-2,-1,4)\) for funktionen \(\pmb{f}\) i punktet \((x_1, x_2, x_3, x_4,)=(1,-2,-1,4)\).

b) Vi betragter nu den sammensatte afbildning \(g \circ \pmb{f}\). Angiv Jacobimatricen for denne afbildning i punktet \((x_1, x_2, x_3, x_4,)=(1,-2,-1,4)\).

Opgave 4

Skriv et Pythonprogram der som input tager en vektor \(\pmb{v} \in \mathbb{C}^4\) (der ikke er nulvektoren) og som output giver en ortonormal basis for \(\mathbb{C}^4\) med første basis vektor ensrettet med \(\pmb{v}\). To vektorer \(\pmb{v}\) og \(\pmb{u}\) i \(\mathbb{C}^n\) siges at være ensrettede hvis der findes en skalar \(c \ge 0\) således at \(\pmb{v} = c \pmb{u}\).

Opgave 5

Betragt funktionen \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) med forskrift:

\[\begin{equation*} f(x)=(ReLU(x))^2 \end{equation*}\]

a) Gør rede for at \(f\) er differentiabel på hele den reelle akse, og angiv en forskrift for differentialkvotienten \(f'\).

b) Er \(f'\) differentiabel på hele den reelle akse?

c) Er \(f'\) kontinueret på hele den reelle akse?