Uge 7: Riemann-Integralet i 1-D og 2-D

Uge 7: Riemann-Integralet i 1-D og 2-D#

Nøglebegreber#

Riemann-integralt: det bestemte integral
Inddeling og Middelsummer
Infinitesimalregningens hovedsætning
Stamfunktion: det ubestemte integral
Partial integration og substitutionsmetoden
Riemann-integration af funktioner af to variable
Koordinatskifte i 2D
Polære koordinater

Forberedelse og pensum#

Læsepensum: Afsnit 6.1 til 6.3
Python demo

Opgaver – Store Dag#

1: Stamfunktioner til udenadslære#

For hvilke af de følgende funktioner kan du straks angive en stamfunktion?

$x^n, n \in \mathbb{N}$
$\frac{1}{x}$
$\ln(x)$
$\frac{1}{1+x^2}$
$\cos(x)$
$\sin(x)$
$\exp(x)$

Hvor du måtte melde pas: Find en stamfunktion med Sympys integrate og indskriv venligst resultatet i din langtidshukommelse.

2: Otte stamfunktioner du bør beherske#

Angiv en stamfunktion til hver af de følgende funktioner:

$x^n$, hvor $n$ er en vilkårlig konstant i $\mathbb Z$
$x^k$, hvor $k$ er en vilkårlig konstant i $\mathbb Q$
$\frac{1}{a x+b}$, hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb{R}$, og $x$ i passende interval.
$\cos(a x+b)$, hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb{R}$.
$f'(x)$, hvor $f$ er differentiabel
$\sin(a x+b)$, hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb{R}$.
$\exp(a x+b)$, hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb{R}$.
$\exp(a x+b)$, hvor $a\neq 0$ og $b$ er vilkårlige konstanter i $\mathbb{C}$.

Svar

Punkt 1: Antag $n>0:$ Som i punkt 1 i Opgave 1: Stamfunktioner til udenadslære. Antag $n=0:$ Så drejer det sig om at finde en stamfunktion til 1. Antag $n=-1:$ Idet $x^{-1}=\frac 1x,$ er det som i punkt 2 i Opgave 1: Stamfunktioner til udenadslære. Antag $n=<-1:$ Eksempel: $\int u^{-3} \mathrm{d}u=\frac{1}{-3+1}u^{-3+1}=-\frac{1}{2}u^{-2}$ som viser at $-\frac{1}{2u^2}$ er en stamfunktion til $\frac{1}{u^3}$.

Punkt 2: Antag at $k\neq -1:$ $\int x^{\frac pq}\mathrm{d}x=\frac{1}{\frac pq+1}x^{\frac pq+1}$

Punkt 3: $\frac 1a \ln(a x+b)$

Punkt 4: $\frac 1a \sin(a x+b)$

Punkt 5: $f(x)$

På samme måde med punkt 6, 7 og 8.

3: Regneregler for stamfunktioner#

Udregn find det ubestemte integral $\int \left( 5\cos(x+1)-\sin(5x)+\frac{2}{x-3}-7\right)\mathrm{d}x$ for $x>3$ og gør rede for de regneregler du har brugt undervejs.

Svar

\[\begin{equation*} 5\sin(x+1)+\frac 15\cos(5x)+2\ln(x-3)-7x+C, \quad x>3, \end{equation*}\]

hvor $C \in \mathbb{R}$ er en arbitrær konstant.

4: Fundamentalsætningen. Håndregning#

Spørgsmål a#

Angiv en stamfunktion til $\frac{1}{1+x^2}$. Bestem derefter integralet $\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$.

Svar

Stamfunktionen er $\arctan$. Integralet er $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$.

Spørgsmål b#

Bestem dobbeltintegralerne

\[\begin{equation*} \int_1^2\Big (\int_0^1\frac{\mathrm{e}^{2x}}{y}\mathrm{d}x\Big)\mathrm{d}y \end{equation*}\]

og

\[\begin{equation*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\Big (\int_0^1y\cos(xy)\mathrm{d}x\Big)\mathrm{d}y \end{equation*}\]

Hint

Beregn først det inderste integral, mens du betragter $y$ som en konstant. Derefter det yderste integral med $y$ som variabel.

Svar

\[\begin{equation*} \frac12\left(\mathrm{e}^2-1\right)\ln(2)\quad \text{og}\quad 1 \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

Lad $f: [-5,5] \to \mathbb{R}$ være givet ved

\[\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 & \text{for } x \in [0,1] \\ 0 & \text{for } x \in [-5,5] \setminus [0,1]. \end{cases} \end{equation*}\]

Udregn:

\[\begin{equation*} F(x) = \int_{x_{0}}^{x} f(y) \mathrm{d} y \quad \text{for $x \in [-5,5]$}, \end{equation*}\]

hvor $x_{0}\in [-5,5]$ er fast, men vilkårlig. Vælg fx $x_0=0$. Er $F$ kontinuert? Er $F$ differentiabel i alle punkter? Har $f$ en stamfunktion?

Hint

Brug SymPy til hjælp, hvis du sidder fast.

5: Parametriseringer i planen#

Betragt mængderne $V, U \subset \mathbb{R}^2$ givet ved

\[\begin{equation*} V = \bigl\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \big| x \ge 1 \wedge y \ge 0 \wedge x + y \le 3 \bigr\} \end{equation*}\]

og $U = B((0,0),2) \setminus \overline{B((0,0),1)}$, hvor $B((0,0),r)$ er den åbne cirkelskive (open ball) med radius $r$ og centrum $(0,0)$ og $\overline{B((0,0),r)}$ er den afsluttede/lukkede cirkelskive (hvor randen er med).

Spørgsmål a#

Angiv en parametrisering $\pmb{r}_1: [0,1]^2 \to V$ af $V$. Vektorfunktionen $\pmb{r}_1$ skal være en funktion af to variable, fx $(u,v) \in [0,1]^2$, og billedmængden af $\pmb{r}_1$ skal være $V$.

Note

Funktionen $\pmb{r}_1$ bør være injektiv på den åbne mængde $]0,1[^2$, men det er ikke et krav.

Spørgsmål b#

Angiv en parametrisering $\pmb{r}_2: ]1,2[ \times [0,2\pi[ \to U$ af $U$. Vektorfunktionen $\pmb{r}_2$ skal være en funktion af to variable, i.e. $(r,\theta) \in ]1,2[ \times [0,2\pi[$, og billedmængden af $\pmb{r}_2$ skal være $U$.

Hint

Brug polære koordinater som kendt fra Matematik 1a.

6: Trapez-metoden og Riemann-summer#

Det findes mange integraler som det ikke er muligt at udregne “eksakt”, ofte fordi stamfunktionen ikke kan udtrykkes ved en “kendt” funktion. Vi ønsker i denne opgave at udregne en tilnærmet værdi til:

\[\begin{equation*} \int_0^3 \sin(x^2) \exp(3x) \mathrm{d}x \end{equation*}\]

SciPy-pakken i Python kan udregne (approksimationer til) integraler ved såkaldt numerisk integration. Vi vil her sammenligne SciPys quad-metode med både Riemann-summen som vi kender fra bogen og den såkaldte trapez-metode.

Ved trapez-metoden menes approksimationen til integralet over et lille interval $[x_{j-1},x_j]$ givet ved

\[\begin{equation*} \int_{x_{j-1}}^{x_{j}}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x_{j}-x_{j-1})(f(x_{j-1})+f(x_{j})) \end{equation*}\]

mens vi ved middelsummer for Riemann integralt med valget $\xi_j := \frac{x_{j}+x_{j-1}}{2}$ har

\[\begin{equation*} \int_{x_{j-1}}^{x_{j}} f(x)dx\approx f(\xi_j) (x_{j}-x_{j-1}), \end{equation*}\]

Hvis man gerne vil approksimere et integral over et større interval $[a,b]$, kan man indele det i flere små intervaller $Q_j=[x_{j-1},x_j]$, $j=1,\dots, J$, og approkismere dem hver for sig, hvorefter man kan lægge dem alle sammen igen - præcis som ved Riemann-summer.

Spørgsmål a#

Argumenter for at $\sin(x^2) \exp(3x)$ har en stamfunktion og at integralet $\int_0^3 \sin(x^2) \exp(3x) \mathrm{d}x$ er veldefineret. Prøv (i SymPy) at finde den eksakte værdi for

\[\begin{equation*} \int_0^3 \sin(x^2) \exp(3x) \mathrm{d}x \end{equation*}\]

Brug .evalf() til at få en tilnærmet værdi af integralet.

Hint

integrate(f(x),(x,0,3)).evalf()

Svar

Løsning ved hjælp af Sympy:

\[\begin{equation*} \int_0^3\sin(x^2)\exp(3x)\mathrm{d}x\approx 1252.4529317 \end{equation*}\]

Man kan (sikkert) godt få SymPy og Maple til at angive en stamfunktion, men den bliver udtrykt ved en funktion $\mathrm{erf}$ som hverken kan sige at være “kendt” (for os) eller have en “eksplicit” definition, og det giver os derfor ikke mere information end udtrykket $\int \sin(x^2)\exp(3x)\mathrm{d}x$.

Spørgsmål b#

Udregn integralet med quad fra scipy.integrate. Du skal importere from scipy.integrate import quad og definere:

def f(x):
    return sin(x**2)*exp(3*x)

Hint

from scipy.integrate import quad

def f(x):
    return sin(x**2)*exp(3*x)

quad(f,0,3)

Svar

\[\begin{equation*} \int_0^3\sin(x^2)\exp(3x)\mathrm{d}x\approx 1252.4529317 \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

Vi vil gerne sammenligne det med det Riemann integral, vi har arbejdet med tidligere. Vi bruger Riemann-summer, hvor $[a,b]$ inddeles i $J$ lige store delintervaller. Kan du selv implementere en funktion i Python, som regner det ud for dig? Det skal have formen

def riemann_sum(f,a,b,J):

hvor $f$ er en kontinuert funktion, $a$ og $b$ er interval-endepunkterne og $J$ antal inddelinger af integralet. Når du har skrevet den kan du teste den på samme integral som ovenfor med $J=20$.

Hint

Det kan se ud som det her:

def riemann(f,a,b,J):
    w = (b - a)/J
    x_v = a
    result = 0
    for i in range(J):
        x_h = x_v + w
        result += ???
        x_v = x_h
    result *= w
    return result

Du bestemmer selv hvordan du vil vælge $\xi_j$. Overfor har vi foreslået at du vælger $\xi_j$ som midtpunktet af hvert del-interval.

Svar

Det kan se ud som det her:

def riemann(f,a,b,J):
    w = (b - a)/J
    x_v = a
    result = 0
    for i in range(J):
        x_h = x_v + w
        result += f((x_h+x_v)/2)
        x_v = x_h
    result *= w
    return result

Svar

\[\begin{equation*} \int_0^3\sin(x^2)\exp(3x)\mathrm{d}x\approx 1284.01 \end{equation*}\]

Spørgsmål d#

Ved trapez-metoden approksimerer vi ikke længere arealet under en graf med et rektangel. Kan du komme frem til hvordan formen ser ud baseret på formlen ovenfor?

Hint

Se figurerne på https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule

Spørgsmål e#

Implementer nu trapez-metoden

def trapez_sum(f,a,b,J):

hvor $f$ er en kontinuert funktion, $a$ og $b$ er interval-endepunkterne og $J$ antal inddelinger af integralet. Når du har skrevet den kan du teste den på samme integral som ovenfor med $J=20$.

Spørgsmål f#

Det ser ikke umiddelbart ud til vi får det samme værdi af integralet. Sammenlign dine resultater fra Spørgsmål a, b, c og e. Hvilken metode er bedst? Hvorfor mon? Prøv også både med flere og færre indelinger af intervallet.

7: Et uegentligt integral. Håndregning.#

Spørgsmål a#

Følgende er ikke et Riemann integral $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x$. Hvorfor ikke?

Svar

Integralet er ikke (umiddelbart) veldefineret da $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ikke er defineret på $[0,1]$ (og derfor slet ikke kontinuert på $[0,1]$). Integranden $\frac{1}{\sqrt{x}}$ er dog veldefineret og kontinuert på $[a,1]$ for alle værdier af $0<a<1$, hvilket vi bruger i næste spørgsmål.

Spørgsmål b#

Udregn $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x$ som $\lim_{a \to 0} \int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x$

Hint

Find integralet $\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x$ og betragt grænseovergangen $a \to 0$.

Svar

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = \lim_{a \to 0} [2 \sqrt{x}]_a^1 = \lim_{a \to 0} ( 2-2\sqrt{a}) = 2$

Spørgsmål c#

Find på lignende måde integralet $\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x$ (hvis muligt).

Hint

Find integralet $\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x$ og betragt grænseovergangen $b \to \infty$.

Svar

Integralet konvergerer ikke: $\int_1^b \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = [2 \sqrt{x}]_1^b = = 2\sqrt{b} - 2 \to \infty$ når $b \to \infty$.

8: Variabelskift for et integral i 2D#

Bestem integralet

\[\begin{equation*} \int_{0}^1\int_1^8\frac{y}{x+xy}\mathrm{d} x\mathrm{d}y \end{equation*}\]

ved hjælp af variabelskift.

Hint

Faktoriser $1/x$ ud af brøken.

Svar

\[\begin{equation*} \int_1^8\frac{y}{x+xy}\mathrm{d} x=\frac{y}{y+1}\ln(8) \end{equation*}\]

Hint

Skift eventuelt variabel: $z=y+1$.

Hint

Efter variabelskift kan det ubestemte integral skrives som

\[\begin{equation*} \int \frac{z-1}{z}\mathrm{d}z = \int 1 \mathrm{d}z - \int 1/z \mathrm{d}z \end{equation*}\]

Svar

\[\begin{equation*} \int_{0}^1\int_1^8\frac{y}{x+xy}\mathrm{d} x\mathrm{d}y=\ln(8)(1-\ln(2)) \end{equation*}\]

Opgaver – Lille Dag#

1: Ubestemte og bestemte integraler#

Spørgsmål a#

Bestem en stamfunktion til hver af funktionerne

\[\begin{equation*} x^3, \quad \frac{1}{x^3} \quad \text{og} \quad \sin(3x-\frac{\pi}{2}) \end{equation*}\]

Hint

Bemærk at det første eksempel blev taget op i Opgave 1: Stamfunktioner til udenadslære, og de to næste er dækket i Opgave 2: Otte stamfunktioner du bør beherske på Store Dag.

Hint

Vedr. andet eksempel: Brug omskrivningen $\displaystyle{\frac{1}{x^3}=x^{-3}}$

Svar

\[\begin{equation*} \frac{1}{4}x^4,-\frac{1}{2x^2}\mathrm{og}-\frac{1}{3}\cos(3x-\frac{\pi}{2}) \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Udregn de følgende Riemann integraler

\[\begin{equation*} \int_0^{1}x^3\mathrm{d}x, \quad \int_1^{2}\frac{1}{x^3}\mathrm{d}x \quad \text{og} \quad \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\sin(3x-\frac{\pi}{2})\mathrm{d}x. \end{equation*}\]

Svar

$\frac{1}{4}, \frac{3}{8}$ og $\frac{1}{3}$.

2: Partiel integration. Håndregning#

Spørgsmål a#

Vi skal først bevise formlen for partiel integration. Start med at differentiere udtrykket på højresiden af

\[\begin{equation*} \int f(x)g(x)\mathrm{d}x = F(x)g(x)- \int F(x)g^\prime(x) \mathrm{d} x. \end{equation*}\]

Hint

Husk hvordan man differentierer produktet af to funktioner.

Hint

Husk at hvis man differentierer $\int h(x) \mathrm{d} x$ så får man per definition $h(x)$.

Færdiggør nu beviset.

Spørgsmål b#

Bestem en stamfuntion til funktionen $x\cos(x)$, og tjek at den er korrekt.

Hint

Brug partiel integration, hvor du sætter $f(x)=\cos(x)$ og $g(x)=x$

Hint

Se eksemplerne i bogen.

Svar

$\cos(x)+x\sin(x)$. Idet $(\cos(x)+x\sin(x))'=-\sin(x)+\sin(x)+x\cos(x)=x\cos(x)$ har vi tjekket at stamfunktionen virkelig er en stamfunktion.

Spørgsmål c#

Find en stamfunktion til $\ln(x)$ ved hjælp af partiel integration.

Hint

Man kan altid gange $\ln(x)$ med $1$ uden at ændre på integranden.

Hint

Omskriv $\ln(x)$ som $f(x)\, \ln(x)$, hvor $f(x)=1$.

3: Integration ved substitution#

Til spørgsmålene i denne opgave, benyt substitutionsformlen

\[\begin{equation*} \int{f(g(x))g'(x)\mathrm{d}x}=\int{f(t)\mathrm{d}t}\quad \text{hvor } t=g(x) \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Bestem en stamfunktion til $\displaystyle{x\mathrm{e}^{x^2}}$.

Hint

Kan du identificere en indre funktion $g(x)$ og en ydre funktion $f(x)$?

Hint

Hvis vi sætter $g(x)=x^2$ og $f(x)=\mathrm{e}^x,$ har vi $f(g(x)) g'(x)=\mathrm{e}^{x^2} 2x=2(x\mathrm{e}^{x^2})$.

Svar

$\displaystyle{\int{x\mathrm{e}^{x^2}\mathrm{d}x}=\frac 12\int{f(t)\mathrm{d}t}=\frac 12\mathrm{e}^t=\frac 12\mathrm{e}^{x^2}}$.

Spørgsmål b#

Find det ubestemte integral $\displaystyle{\int \frac{x}{x^2+1} \mathrm{d}x}$.

Hint

Kan du identificere en indre funktion $g(x)$ og en ydre funktion $f(x)$?

Hint

Hvis vi sætter $g(x)=x^2+1$ og $f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}},$ har vi $f(g(x))g'(x)=2\frac{x}{x^2+1}$.

Svar

\[\begin{equation*} \int \frac{x}{x^2+1} \mathrm{d}x=\frac 12\int f(t)\mathrm{d}t=\frac 12\int {\frac{1}{t}}\mathrm{d}t=\frac 12\ln(t)+C=\frac 12\ln(x^2+1)+C. \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

Find en stamfunktion til $\displaystyle{\frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)}}$ og bestem derefter $\displaystyle{\int_0^{\pi} \frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)} \mathrm{d}x}$.

Hint

Sæt $g(x)$ lig med nævneren, osv.

Svar

$\displaystyle{\int_0^{\pi} \frac{\sin (x)}{3 -\cos(x)} dx = \ln(4)-\ln(2)=\ln(2)}$.

4: Talfølger#

I denne og den følgende opgave gives der smagsprøver på en vigtig byggesten for integralregning: Talfølger og deres eventuelle konvergens. Fra Den Store Danske (Gyldendal):

konvergens, begreb af fundamental betydning i matematisk analyse, specielt i teorien for uendelige rækker. En følge af reelle tal $x_1,x_2,\ldots$ kaldes konvergent, hvis der findes et tal $x$, så tallet $x_n$ er vilkårligt tæt på $x$, blot $n$ er tilstrækkelig stor $(\ldots)$. Tallet $x$ kaldes grænseværdien for følgen, som siges at konvergere mod $x$ Hvis følgen ikke er konvergent, kaldes den divergent.

Mere præcist siges en talfølge $x_1,x_2,\ldots$ at være konvergent hvis der findes et tal $x$ med følgende egenskab:

\[\begin{equation*} \forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N}: n \ge N \Rightarrow |x_n -x| < \epsilon. \end{equation*}\]

Fire talfølger $(a_n)_{n=1}^\infty$, $(b_n)_{n=1}^\infty$, $(c_n)_{n=1}^\infty$ og $(d_n)_{n=1}^\infty$ er givet ved

\[\begin{equation*} a_n=\frac 1n, \: b_n=\frac{n-1}{2n}, \: c_n=\frac{n}{1000} \:\text{og}\; d_n=\frac{4n^2+16}{8-3n^2} \end{equation*}\]

for $n \in \mathbb{N}$. En følge skrives kort $(a_n)$ for $(a_1, a_2, \dots)$ og kan opfattes som en uendelig liste (eng: infinite ordered list).

Afgør hvilke af de fire talfølger der er konvergente, og angiv grænseværdien for dem som er konvergente.

Note

Konvergens begrabet er ikke kun vigtigt i den matematiske analyse. Det er også den præcise bekskrivelse af “ingeniør-udsagn” som:

Vores algoritme/metode/osv. konvergerer hvis vi blot medtager nok målepunkter/datapunkter/samplinger/osv.

Hint

Hvis du ikke kan bevise det ud fra definitionen, så prøv at bruge Python til at eksperimere med. Du kan hurtigt udregne de første 100 eller 1000 tal i følgen.

Svar

$(a_n)$ er konvergent med grænseværdien 0. $(b_n)$ er konvergent med grænseværdien $\frac 12$. $(c_n)$ er divergent. $(d_n)$ er konvergent med grænseværdien $-\frac 43$.

5: Integraler via venstresummer#

Vi skal udregne Riemann integralet $\displaystyle{\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x}$ af funktionen

\[\begin{equation*} f(x)=x, \quad x\in \left[0,1\right] \end{equation*}\]

direkte fra definitionen (du må altså ikke finde en stamfunktion $F(x)=x^2/2$ og så udregne $F(1)-F(0)=1/2-0=1/2$).

Vi opdeler intervallet $[0,1]$ i $n$ lige store stykker, dvs $x_j=j/n$ for $j=0,1,2,\dots, n$. Riemann summen $S_n$ kaldes for en ventresum $V_n$, hvis vi altid evaluerer $f$ i venstre endepunkt i hvert del-interval, altså $\xi_j = x_{j-1}$ for $\xi_j \in [x_{j-1},x_j]$ for $j=1,2,\dots, n$.

Bestem ved hjælp heraf $\displaystyle{\int_0^1 x\mathrm{d}x} = \lim_{n \to \infty} V_n$.

Hint

Vi skal først finde $V_n$ udtrykt kun ved $n$.

Hint

Rektanglerne har arealerne $\displaystyle{0,\frac{1}{n^2},\frac{2}{n^2},\frac{3}{n^2}\ldots\frac{n-1}{n^2}}$. Hvad er summen af disse $n$ led?

Hint

Antag $n$ er ulige: Ignorer det første nul. Læg derefter anden led og sidste led sammen, læg 3. og næstsidste led sammen, og fortsæt sådan. Det er i alt $(n-1)/2$ gange du skal lægge to led sammen.

Hint

Hver sum af de to led har værdien $n/n^2$ og du har $(n-1)/2$ af disse. Hvad er den samlede sum så?

Svar

\[\begin{equation*} V_n=\frac{n}{n^2} \frac{n-1}{2} = \frac{1}{2} \frac{n(n-1)}{n^2} \rightarrow \frac 12 \quad \text{for } n\rightarrow\infty \end{equation*}\]

Vi har altså

\[\begin{equation*} \int_0^1 x\mathrm{d}x=\frac 12 \end{equation*}\]

Uge 7: Riemann-Integralet i 1-D og 2-D

Contents

Uge 7: Riemann-Integralet i 1-D og 2-D#

Nøglebegreber#

Forberedelse og pensum#

Opgaver – Store Dag#

1: Stamfunktioner til udenadslære#

2: Otte stamfunktioner du bør beherske#

3: Regneregler for stamfunktioner#

4: Fundamentalsætningen. Håndregning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

5: Parametriseringer i planen#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

6: Trapez-metoden og Riemann-summer#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

Spørgsmål d#

Spørgsmål e#

Spørgsmål f#

7: Et uegentligt integral. Håndregning.#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

8: Variabelskift for et integral i 2D#

Opgaver – Lille Dag#

1: Ubestemte og bestemte integraler#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

2: Partiel integration. Håndregning#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

3: Integration ved substitution#

Spørgsmål a#

Spørgsmål b#

Spørgsmål c#

4: Talfølger#

5: Integraler via venstresummer#