from sympy import *
init_printing()
from dtumathtools import *

Eksamen 01002 August 2024

Opgave 1

Betragt funktionen \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y) = 2 x^2 + y^2 - x y^2. \end{equation*}\]

x,y = symbols("x y", real=True)
f = 2 * x**2 + y**2 - x * y**2 

a

Plot niveaumængden \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid f(x,y) = 2\}\). En ret linje er en del af denne niveaumængde. Beskriv den rette linje (enten ved at angive ligningen for linjen eller ved en parametrisering af linjen).

b

Beregn gradienten \(\nabla f(x,y)\) for alle \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).

c

Beregn Hesse-matricen \(\pmb{H}_f(x,y)\) for alle \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).

d

Vis, at \((0,0)\) er et stationært punkt for \(f\). Bestem ved hjælp af Hesse-matricen \(\pmb{H}_f(0,0)\), om det er et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller et saddelpunkt.

e

Find alle stationære punkter for \(f\). Bestem ved hjælp af Hesse-matricen, om hvert stationært punkt er et lokalt minimum, et lokalt maksimum eller et saddelpunkt.

Opgave 2

Lad \(\pmb{y} = [1,2,2,4]^T\) være en søjlevektor i \(\mathbb{R}^4\) udstyret med det sædvanlige indre produkt \(\langle \cdot, \cdot \rangle\). Lad \(Y = \mathrm{span}(\pmb{y})\) være et underrum. Definér matricen \(A \in \mathbb{R}^{4\times 4}\) ved

\[\begin{equation*} A = \pmb{y} \pmb{y}^T. \end{equation*}\]

y = Matrix([1, 2, 2, 4])

a

Vis, at \(A\) er symmetrisk.

b

Argumentér for, at søjlerne i \(A\) er skalar-multipler af hinanden, og at rangen af \(A\) er lig med én.

c

Giv et eksempel på en ikke-nul vektor \(\pmb{x} \in \mathbb{R}^4\), der opfylder \(\langle \pmb{x}, \pmb{y} \rangle = 0\).

d

Lad \(\pmb{x} \in \mathbb{R}^4\) være en hvilken som helst vektor, der opfylder \(\langle \pmb{x}, \pmb{y} \rangle = 0\). Vis, at \(A\pmb{x} = \pmb{0}\).

e

Argumentér for, at \(\mathrm{dim} (Y^\perp) = 3\).

f

Find en ortonormal basis for \(Y^\perp\).

Opgave 3

Lad funktionen \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) være givet ved

\[\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{for } x \neq 0, \\ 1 & \text{for } x = 0. \end{cases} \end{equation*}\]

x = symbols("x", real=True)
f = sin(x) / x

a

Plot grafen for funktionen \(f\). Angiv funktionsværdien \(f(k\pi)\) for hver heltal \(k \in \mathbb{Z}\).

b

Find Taylor-polynomiet af grad to \(P_2(x)\) for \(\sin(x)\) med udviklingspunkt \(x_0 = 0\).

c

Vis, at

\[\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \end{equation*}\]

d

Argumentér for, at \(f\) er kontinuert.

e

Lad funktionen \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) være givet ved

\[\begin{equation*} g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(3x)}{x} & \text{for } x \neq 0, \\ c& \text{for } x = 0, \end{cases} \end{equation*}\]

hvor \(c \in \mathbb{R}\).

Angiv en værdi af \(c\), så funktionen \(g\) er kontinuert.

Opgave 4

Betragt delmængden \(A \subset \mathbb{R}^2\) givet ved:

\[\begin{equation*} A = \{(x_1 ,x_2 )\in \mathbb{R}^2 \mid 1 \le x_1^2 +x_2^2 \le 4 \wedge x_1 \ge 0 \wedge x_2 \ge 0\}. \end{equation*}\]

Lad funktionen \(f: A \to \mathbb{R}\) være givet ved

\[\begin{equation*} f(x_1,x_2) = \ln(x_1^2 +x_2^2). \end{equation*}\]

a

Lad \(r>0\). Vis, at \(r^2 \ln(r^2) -r^2\) er en stamfunktion for \(2 \ln(r^2) r\), dvs. vis at

\[\begin{equation*} \int 2 \ln(r^2) r \mathrm{d} r = r^2 \ln(r^2) -r^2. \end{equation*}\]

b

Find alle stamfunktioner for \(2 \ln(r^2) r\), hvor \(r>0\).

c

Find en parametrisering af \(A\) i polære koordinater. Angiv Jacobi-matricen og Jacobi-determinanten for parametriseringen.

d

Argumentér for, at \(f\) er Riemann-integrabel.

e

Udregn integralet \(\int_{A} f(x_1,x_2) \mathrm{d} (x_1,x_2)\).