Uge 5: Afrunding

Uge 5: Afrunding#

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber#

  • Tangentlinjer og tangentplaner

  • Taylorpolynomier i én variabel

  • Taylorpolynomier i n variabel

  • Taylorpolynomier for vektorfunktioner

  • Taylors sætning

  • Taylors grænseformel \(f(x) = P_K(x) + \phantom{x}\) led med \(\varepsilon\)-funktion.

  • Restled og restledsvurdering

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver#

Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program. De følgende ekstraopgaver er udelukkende et frivilligt tilbud for dem, der ønsker yderligere træning og udfordring.

1: Mindste grad#

Skriv en Python-funktion, der for en given funktion \(f(x)\), et udviklingspunkt \(x_0\) og en ønsket relativ fejlgrænse \(\varepsilon\) beregner det mindste \(K\) (polynomiets grad), således at

(1)#\[\begin{equation} \frac{\left|f(x^*) - P_K(x^*)\right|}{\left|f(x^*)\right|} \leq \varepsilon \end{equation}\]

for et fast valgt punkt \(x^*\). Test din funktion med \(f(x)=\operatorname{e}^x\) ved \(x_0=0\), \(x^*=3\) og \(\varepsilon = 0.001\).

Du kan tage udgangspunkt i følgende:

def min_taylor_degree(f, x0, xstar, eps, max_degree=50):
    f_val = f.subs(x, xstar)
    for K in range(max_degree+1):
        # tre linjer kode mangler
        # du bør have en hjælpefunktion der udregn P_K(x) med 
        # udviklingspunkt x0 eller bruge den indbyggede `series`
        if rel_error <= eps:
            return K, Pk
    return None, None  # Hvis ikke opfyldt inden max_degree

# Testeksempel: f(x) = e^x, x0 = 0, x* = 3, eps = 0.001
f = exp(x)
K, Pk = min_taylor_degree(f, x0=0, xstar=3, eps=0.001)
print("Mindste grad:", K)
print("Taylorpolynomium:")
print(Pk)
# Bør svare med Mindste grad: 10
Contents