Uge 7: Forberedelse

Uge 7: Forberedelse#

Nøglebegreber#

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

  • Riemann-integralt: det bestemte integral

  • Inddeling og Middelsummer

  • Infinitesimalregningens hovedsætning

  • Stamfunktion: det ubestemte integral

  • Partial integration og substitutionsmetoden

  • Riemann-integration af funktioner af to variable

  • Koordinatskifte i 2D

  • Polære koordinater

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

Læsestof#

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

  • Læsepensum: Afsnit 6.1 til 6.3

  • Python demo

Forberedelsesopgaver#

I: Stamfunktioner til udenadslære#

For hvilke af de følgende funktioner kan du straks angive en stamfunktion?

  1. \(x^n, n \in \mathbb{N}\)

  2. \(\frac{1}{x}\)

  3. \(\ln(x)\)

  4. \(\frac{1}{1+x^2}\)

  5. \(\cos(x)\)

  6. \(\sin(x)\)

  7. \(\exp(x)\)

Hvor du måtte melde pas: Find en stamfunktion fx med Sympys integrate og indskriv venligst resultatet i din langtidshukommelse.

II: Riemann-sum for \(x^2\)#

Betragt funktionen \(f: [0,1] \to \mathbb{R}\) givet ved

\[\begin{equation*} f(x)=x^2 \end{equation*}\]

Beregn Riemann summen af \(f\) over \([0,1]\) med \(4\) lige store delintervaller, idet du benytter højre endpoints i hvert delinterval. Sammenlign derefter resultatet med det eksakte udtryk for integralet, som findes ved stamfunktionen.

Svar

Riemann-summen giver

\[\begin{equation*} \sum_{j=1}^4 \left(\frac{j}{4}\right)^2 \frac{1}{4} = 15/32 \approx 0.47. \end{equation*}\]

Den eksakte fundet ved stamfunktionen er \(1/3\).

III: Parametrisering af cirkelskivens rand#

Lad

\[\begin{equation*} B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 2\} \end{equation*}\]

være cirkelskiven i planen med centrum i \((0,0)\) and radius \(\sqrt{2}\). Angiv en parametrisering af cirkelskivens rand \(\partial B\).

Svar

Der er uendeligt mange måder at parametrisere randen på. Her er et fornuftigt valg via polære koordinater:

\[\begin{equation*} \pmb{r}(t) = (\sqrt{2} \cos(t), \sqrt{2}\sin(t)) \quad \text{for } t \in [0, 2 \pi[. \end{equation*}\]

Her er mindre fornuftig parametrisering: \(\pmb{r}_1(x) = (x, \sqrt{2-x^2})\) for \(x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\) som skal sættes sammen med \(\pmb{r}_2(x) = (x, -\sqrt{2-x^2})\) for \(x \in ]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[\).

Contents