Projektappetizere

• Miljø, BioTek, TekBio, BærEnergi & Design kan danne grupper sammen og skal vælge mellem

  1. Reduktion af biologisk kompleksitet: PCA i mikrobiomstudier

  2. Selvkørende biler

  3. Finite Element-Metoden

• MedTek & Elektro kan danne grupper sammen og skal vælge Vektoranalyse

• KunsInt & DataSci kan danne grupper og

  1. PageRank af hjemmesider

  2. Selvkørende biler

  3. GPS og geometri

• Byg Tek, Byg Des, MatTek, Software, Cyber, CompTek, KemiTek & Produktion kan danne grupper sammen og skal vælge mellem

  1. Reduktion af biologisk kompleksitet: PCA i mikrobiomstudier

  2. PageRank af hjemmesider (ikke MatTek)

  3. GPS og geometri

  4. Finite Element-Metoden

• Fysik, Geo Fys kan danne grupper sammen og skal vælge Vektoranalyse

• BSc Teknologi skal vælge projekt om Reduktion af biologisk kompleksitet: PCA i mikrobiomstudier

Reduktion af biologisk kompleksitet: PCA i mikrobiomstudier

Hvordan finder man meningen i data, der indeholder tusindvis af forskellige bakteriearter fra hundreder af jordprøver? Mikrobiomforskning producerer enorme mængder kompleks data, hvor det er umuligt at se sammenhængene med det blotte øje. Men bag de biologiske mønstre gemmer der sig en præcis matematisk struktur.

I dette projekt nøjes vi ikke med at køre færdige pakker; vi dykker ned i maskinrummet af Principal Component Analysis (PCA) og PCoA. Du skal arbejde med den fundamentale lineære algebra, der gør dimensionsreduktion mulig. Det betyder, at du skal mestre teorien bag kovariansmatricer, egenværdier og egenvektorer, og forstå hvordan spektralsætningen sikrer, at vi kan finde de ortogonale akser, der forklarer mest muligt af variansen i data.

Gennem projektet vil du lære at transformere abstrakte matematiske sætninger til praktisk Python-kode (Python bruger en del Python). Vi undersøger, hvordan man håndterer store datamatricer, beregner distance-metrikker og fortolker plots som:

Du vil opdage, at de isolerede klynger og mønstre i dine plots ikke bare er visuelle tilfældigheder, men resultatet af præcise spektrale dekompositioner af de biologiske målinger.

Projektet er en mulighed for at se, hvordan teorien fra den lineære algebra er den absolutte forudsætning for at kunne navigere i livets kompleksitet.

Selvkørende biler og konvojdynamik

Trafikflow og bilers adfærd er vigtige faktorer for moderne transport. I takt med udviklingen af selvkørende biler opstår nye udfordringer: Hvordan sikrer vi en stabil og sikker kørsel i en konvoj? Hvad sker der, når en bil bremser pludseligt, og hvordan forplanter denne ændring sig gennem rækken af køretøjer?

Formålet med dette projekt er at analysere en simpel matematisk model for selvkørende biler i en konvoj. Hver bil justerer sin acceleration baseret på afstanden til bilen foran og forskellen i hastighed. Modellen beskrives ved en differentialligning:

\[ a(t) = b(v^+(t) - v(t)) + c(x(t) - x^*(t)) \]

hvor \(v(t)\) er bilens hastighed, \(x(t)\) er afstanden til den forankørende bil, og \(x^*(t) = Tv^+(t)\) er den ønskede afstand.

Emner fra Mat 1a og b: Lineær Algebra herunder egenværdier og egenvektorer, lineære anden ordens differerentialligninger, lineære differentialligningssystemer, og Taylor-polynomier. Desuden introduceres stabilitet af løsninger, som ligger udenfor Mat 1 pensum.

Matematisk set omhandler projektet analyse og løsning af lineære differentialligninger, stabilitetsundersøgelser samt numeriske simuleringer af bilernes bevægelse. Det kan være en fordel at læse Wikipedia-artiklen om den simple trapezregel, da den forklarer idéen bag trapezmetoden, som senere udvides til en kumulativ version i projektet, se \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule}.

Endelige Elementers Metode (FEM): Fra differentialligninger til lineær algebra

Hvordan beregner man udbøjningen af en Storebæltsbro, varmefordelingen i en mikrochip eller aerodynamikken på en Tesla? Disse fysiske fænomener beskrives ved partielle differentialligninger, som ofte er umulige at løse eksakt. Finite Element Method (FEM) er den matematiske bro, der gør det muligt at finde numeriske løsninger på disse problemer.

I dette projekt skal du helt ned i det matematiske fundament. Vi arbejder ikke blot med færdig software, men bygger metoden op fra bunden:

1. Fra differentialform til integralform: Du lærer at transformere randværdiproblemer til deres svage formulering (Variationsprincippet). Her omdannes differentialligningen til en integralligning, som er langt mere robust over for numerisk behandling.

2. Diskretisering i funktionsrum: Vi erstatter det uendelig-dimensionale rum af kontinuerte løsninger med et endeligt-dimensionalt underrum. Ved at bruge stykkevise lineære basisfunktioner (hat-funktioner), kan vi approksimere den sande løsning.

3. Opbygning af stivheds-matricen: Vi konverterer integralligningen til et lineært ligningssystem \(K\pmb{u}=\pmb{f}\). Her skal du implementere din egen solver i Python, der kan håndtere alt fra simple fjedermodeller til avancerede bjælkeligninger.

Projektet fører dig gennem de fundamentale beviser for stabilitet og konvergens til praktisk programmering. Du vil opdage, at “kompleksiteten” i virkelighedens fysik kan tæmmes ved at nedbryde domænet i små, simple stykker – de endelige elementer.

GPS – Geometri og ligningssystemer i bevægelse

Hvordan ved din telefon præcis, hvor du er? Bag Google Maps og selvkørende biler ligger et netværk af ca. 24 satellitter og et fascinerende matematisk problem. GPS-positionering handler fundamentalt om at løse ligningssystemer, hvor ukendte koordinater og tidsfejl skal findes ud fra signaler, der bevæger sig med lysets hastighed.

I dette projekt skal du dykke ned i den geometri og lineære algebra, der gør global navigation mulig. Vi starter med det ideelle tilfælde: Hvor skærer tre cirkler (eller kugler) hinanden? Men virkeligheden er mere kompleks. Satellitternes ure er ekstremt præcise atomure, mens dit ur i telefonen er billigt og upræcist. Denne lille tidsforskel skaber en fjerde ubekendt, som kræver en fjerde satellit og et mere avanceret system af ligninger.

Undervejs vil du arbejde med:

1. Afstandsligninger: Opstilling af ikke-lineære ligningssystemer baseret på Pythagoras i 2D og 3D.

2. Linearisering: Hvordan man transformerer komplekse cirkelligninger til simple lineære ligningssystemer ved hjælp af subtraktion.

3. Iterative metoder: Hvordan computere finder løsninger, når vi ikke kan isolere \(x\) og \(y\) direkte.

4. Python-implementering: Du skal bygge din egen “GPS-modtager” i kode, der kan beregne en position ud fra rå satellitdata og håndtere ur-fejl.

Er du klar til at finde vej gennem matematikken? Projektet kombinerer klassisk geometri med moderne numeriske metoder.

PageRank – Matematikken bag Googles søgealgoritme

Hvordan bestemmes rækkefølgen af søgeresultater på nettet? PageRank-algoritmen, udviklet af Google, bruger matematiske modeller til at rangere hjemmesider baseret på deres linkstruktur.

I projektet vil du undersøge, hvordan hjemmesider kan repræsenteres som rettede grafer, hvordan linkmatrixen opbygges, og hvordan PageRank beregnes ved hjælp af Markov-kæder og iterative metoder. Undervejs vil du arbejde med sandsynlighedsvektorer, matrixmultiplikation, egenværdier, spektralsætningen, tidsdiskrete dynamikker og Python-implementeringer af algoritmen.

Projektet kombinerer matematik, datalogi og anvendelser i netværksanalyse – en perfekt mulighed for at se teori i praksis! Projektet bruger en del Python.