Uge 3: Afrunding

Uge 3: Afrunding#

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber#

  • Vektorrum med indre produkt og norm

  • \(\mathbb{R}^n\) og \(\mathbb{C}^n\)

  • Projektioner på linjen

  • Projektioner på underrum

  • Ortonormal baser

  • Gram-Schmidt proceduren

  • Ortogonale og unitære matricer

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver#

Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program. De følgende ekstraopgaver er udelukkende et frivilligt tilbud for dem, der ønsker yderligere træning og udfordring.

1: Er dette en projektion?#

Opgaven er fortsat fra Opgave III: En linear afbildning der er en projektion? i Uge 3: Forberedelse. Betragt den lineære afbildning \(\mathrm{proj}_Y: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) givet ved:

\[\begin{equation*} \mathrm{proj}_Y(\pmb{x}) = P\pmb{x}, \quad \text{hvor} \quad P = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Bestem billedrummet \(\operatorname{im}(\mathrm{proj}_Y)\) og nulrummet/kernen \(\ker(\mathrm{proj}_Y)\)

Svar

Vi bemærker, at søjlerne i \(P\) er:

\[\begin{equation*} \text{Col}_1 = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0\right)^T, \quad \text{Col}_2 = \left(0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right)^T, \end{equation*}\]

og at søjle 3 og 4 gentager disse. Derfor er

\[\begin{equation*} \operatorname{im}(\mathrm{proj}_Y) = \operatorname{col}(P) = \operatorname{span}\{(1,0,1,0),\,(0,1,0,1)\}. \end{equation*}\]

Nulrummet findes ved at løse \(P\pmb{x}=0\). Det giver betingelserne:

\[\begin{equation*} \frac{1}{2}(x_1+x_3)=0 \quad \text{og} \quad \frac{1}{2}(x_2+x_4)=0, \end{equation*}\]

altså

\[\begin{equation*} x_1+x_3 = 0 \quad \text{og} \quad x_2+x_4 = 0. \end{equation*}\]

Så

\[\begin{equation*} \ker(\mathrm{proj}_Y) = \{(x_1,x_2,-x_1,-x_2) : x_1,x_2 \in \mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,0,-1,0),\,(0,1,0,-1)\}. \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Vis at \(P^2 = P\) og at \(P^* = P\). Dette viser faktisk at \(\mathrm{proj}_Y\) er en ortogonal projektion. Tænk over hvorfor \(P^2 = P\) er en rimelig egenskab for en projektionsmatrix.

Spørgsmål c#

Hvilket underrum \(Y\) projicerer \(\mathrm{proj}_Y\) ned på?

Hint

Hvad kan matricen “ramme”? Hvad er værdimængden for projektionen?

Svar

\(Y = \operatorname{col}(P) = \operatorname{span}\{(1,0,1,0),\,(0,1,0,1)\}\).

Contents