Uge 2: Forberedelse

Uge 2: Forberedelse#

Læsestof#

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

Nøglebegreber#

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

  • Vektor-funktioner af flere variable

  • Retningsafledte

  • Differentiabilitet

  • Jacobi-matricen (eller under tiden blot jacobianten, engelsk: the jacobian (matrix))

  • Gradientvektoren

  • Kædereglen

  • Hesse-matricen (engelsk: the hessian)

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

Forberedelsesopgaver#

I: En sammensat funktion#

Lad \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) være givet ved

\[\begin{equation*} g(x,y) = e^{2x+y}, \end{equation*}\]

og lad \(\pmb{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\) være givet ved

\[\begin{equation*} \pmb{f}(t) = \bigl(t^2, \sin(t)\bigr). \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Find den sammensatte funktion \(g \circ \pmb{f}\)

Hint

Find først udtrykket for den sammensatte funktion \((g \circ \pmb{f})(t)\)

Hint

Sæt \((x,y) := \pmb{f}(t) = (t^2, \sin(t))\) og indsæt udtrykket for \(x\) og \(y\) i \(g(x,y)\).

Hint

Bestem herefter definitionsmængden og dispositionsmængden for den sammensatte funktion.

Svar

\(g \circ \pmb{f}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) er givet ved \((g \circ \pmb{f})(t) = g(t^2, \sin(t)) = e^{2t^2 + \sin(t)}\) for \(t \in \mathbb{R}\).

Spørgsmål b#

Beregn den afledte

\[\begin{equation*} \frac{d}{dt}(g \circ \pmb{f})(t). \end{equation*}\]

Hint

Det nemmeste er blot at differentiere udtrykket \(e^{2t^2 + \sin(t)}\) m.h.t. \(t\), men du kan også bruge kædereglen.

Svar

\[\begin{equation*} \frac{d}{dt}(g \circ \pmb{f})(t) = e^{2t^2 + \sin(t)} \; \bigl(4t + \cos(t)\bigr). \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

Er den sammensatte funktion \(\pmb{f} \circ g\) veldefineret?

Svar

Ja, i dette tilfælde er den. Det er en funktion af formen \(\pmb{f} \circ g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\). Prøv selv at finde funktionsudtrykket.

II: Partielle afledte og retningsafledte#

Lad \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) være givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y) = x^2 y + y^3. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Udregn de partielle afledte \(\frac{\partial f}{\partial x}\) og \(\frac{\partial f}{\partial y}\) i punktet \((1,2)\).

Hint

Differentier \(f\) med hensyn til \(x\) og \(y\) separat, hvor du hhv. opfatter \(y\) og \(x\) som en konstant.

Svar

\[\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^2 + 3y^2. \end{equation*}\]

I punktet \((1,2)\):

\[\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = 1^2 + 3 \cdot 4 = 1 + 12 = 13. \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Bestem gradientvektoren \(\nabla f(x,y)\) og angiv \(\nabla f(1,2)\).

Hint

Gradienten af en funktion \(f\) er en vektor bestående af dens partielle afledte.

Hint

For en funktion af to variable er gradienten \(\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x,y), \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \right)\).

Svar

Fra forrige opgave haves: \(\nabla f(x,y) = (2xy, x^2 + 3y^2)\) og \(\nabla f(1,2) = (4, 13)\).

Spørgsmål c#

Udregn den retningsafledte i retning \(\pmb{e}_1=[1,0]^T\) i punktet \((1,2)\). Udregn også den retningsafledte i retning \(\pmb{e}_2=[0,1]^T\) i punktet \((1,2)\).

Hint

Den retningsafledte i en “standardretning” svarer til de partielle afledte.

Svar

I punktet \((1,2)\) er den retningsafledte i retning \(\pmb{e}_1\) er \(4\), og i retning \(\pmb{e}_2\) er den \(13\).

Spørgsmål d#

Hvad har svarene i spørgsmål b og c med hinanden at gøre?

Svar

De partielle afledte er retningsafledte i “standardretningerne” \(\pmb{e}_1\) og \(\pmb{e}_2\).

III: En vektorfunktion af 3 variable#

Lad \(\pmb{f} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) være givet ved

\[\begin{equation*} \pmb{f}(x,y,z) = \bigl(xy + z, x - yz\bigr). \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Beregn \(\pmb{f}(1,2,3)\).

Hint

Indsæt \((x,y,z) = (1,2,3)\) i udtrykket for \(\pmb{f}\).

Svar

\[\begin{equation*} \pmb{f}(1,2,3) = \bigl(1 \cdot 2 + 3, 1 - 2 \cdot 3\bigr) = (5, -5). \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Find Jacobi-matricen \(\pmb{J}_{\pmb{f}}(x,y,z)\). Beregn \(\pmb{J}_{\pmb{f}}(1,2,3)\).

Hint

Jacobi-matricen er en matrix der indeholder alle de partielle afledte af alle koordinatfunktionerne. Vektorfunktionen \(\pmb{f}=(f_1,f_2)\) har to koordinatfunktioner, så hvad er størrelsen på Jacobi-matricen?

Hint

Jacobi-matricen er af størrelse: \(\pmb{J}_{\pmb{f}}(x,y,z) \in \mathbb{R}^{2 \times 3}\); husk at \(n=3\) er antallet af input-variable og \(k=2\) er antallet af “output” koordinatfunktioner.

Svar

Jacobi-matricen \(\pmb{J}_{\pmb{f}}(x,y,z)\) er:

\[\begin{equation*} \pmb{J}_{\pmb{f}}(x,y,z) = \begin{bmatrix} \frac{\partial (xy + z)}{\partial x} & \frac{\partial (xy + z)}{\partial y} & \frac{\partial (xy + z)}{\partial z} \\ \frac{\partial (x - yz)}{\partial x} & \frac{\partial (x - yz)}{\partial y} & \frac{\partial (x - yz)}{\partial z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y & x & 1 \\ 1 & -z & -y \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

I punktet \((x,y,z)=(1,2,3)\):

\[\begin{equation*} \pmb{J}_{\pmb{f}}(1,2,3) = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]
Contents