Uge 4: Forberedelse

Læsestof

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

• Store Dag: Resten af Kapitel 2

• Lille Dag: Tema-øvelse Tema 2: Data-matricer og Dimensionsreduktion

• Python demo for Uge 4

Nøglebegreber

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

• Symmetriske og hermitiske matricer

• Spektralsætningen

• Diagonalisering

• Ortogonal diagonalisering

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

---

Forberedelsesopgaver

I: Identifikation af matrixtype

Betragt en \(2\times 2\) matrix givet ved:

\[\begin{equation*} A = \begin{bmatrix} 2 & 1-i \\ 1+i & 3 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Besvar følgende spørgsmål:

1. Er \(A\) symmetrisk? (En matrix er symmetrisk, hvis \(A^T = A\).)

2. Er \(A\) hermitisk? (En matrix er hermitisk, hvis \(A^* = A\), hvor \(A^*\) er den konjugerede transponerede.)

3. Er \(A\) normal? (En matrix \(A\) er normal, hvis \(AA^* = A^*A\).)

Hint

Sammenlign først \(A^T\) med \(A\) (uden at tage komplekse konjugerede) og herefter \(A^*\) med \(A\).

Svar

1. \(A^T = \begin{bmatrix} 2 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{bmatrix} \neq A\), fordi \((A^T)_{1,2} \neq A_{1,2}\). Dermed er \(A\) ikke symmetrisk.

2. \(A^* = \begin{bmatrix} 2 & 1-i \\ 1+i & 3 \end{bmatrix} = A\). Dermed er \(A\) hermitisk.

3. Da \(A\) er hermitisk er den automatisk normal.

II: Diagonalisering af en symmetrisk \(2\times 2\) matrix

Betragt den reelle, symmetriske matrix

\[\begin{equation*} B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

1. Find egenværdier: Bestem egenværdierne for \(B\) ved at finde rødderne i det karakteristiske polynomium \(\det(B - \lambda I) = 0\).

2. Find egenvektorer: Find en tilhørende egenvektor for hver egenværdi.

3. Normalisér egenvektorerne: Vælg egenvektorer med norm lig med 1.

4. Ortogonaldiagonalisering: Vis, at \(B\) er ortogonal-diagonaliserbar ved at finde en ortogonal matrix \(Q\) og en diagonal matrix \(\Lambda\) med \(B = Q \Lambda Q^T\).

Svar 1

Egenværdier:

\[\begin{equation*} \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0. \end{equation*}\]

hvilket har rødderne \(\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3\)

Svar 2

Egenvektorer:

• \(\lambda = 1\): \(\pmb{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\).

• \(\lambda = 3\): \(\pmb{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\).

Svar 3

Enheds-egenvektorer:

• \(\lambda = 1\): \(\pmb{q}_1 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\).

• \(\lambda = 3\): \(\pmb{q}_2 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\).

Svar 4

Ortogonal matrix:

\[\begin{equation*} Q = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \quad \Lambda = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Så er \(B = Q \Lambda Q^T\).