Uge 1: Opsamling

Uge 1: Opsamling#

Nøglebegreber#

  • Skalar-funktioner: specielt kvadratiske former

  • Vektor-funktioner

  • Visualisering af funktioner: Grafer og niveaukurver/mængder

  • Kontinuitet

  • Det sædvanlige indreprodukt (prikproduktet) og norm i \(\mathbb{R}^n\)

  • Partielle afledte og Gradientvektoren

Hvis der stadig er begreber du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse bogen.

Ekstra opgaver#

Lav opgaver fra store og lille dag som du endnu ikke har lavet.

1: Visualiseringer - tur på et bjerg#

Vi ser på et højdekort for et bjerg, hvor cirklerne er niveaukurver for højdefunktionen. Pilene angiver højdefunktionens gradientvektorfelt. På bjerget findes en elliptisk vandresti som på kortet er rød. Bjerg

Spørgsmål a#

Forestil dig du går en tur langs den røde sti i positiv omløbsretning (mod uret). Find de punkter på stien hvor stigningen er 0 (det går hverken opad eller nedad).

Hint

Der er fire steder.

Svar

På en niveaukurve ændres højden selvfølgelig ikke. Derfor gælder det om at finde de steder på stien hvor stien har fælles tangent med en niveaukurve.

Spørgsmål b#

På hvilke stykker af stien går det opad, og på hvilke nedad?

Spørgsmål c#

Følg nu en af niveaukurverne på tegningen hele vejen rundt og betragt retningen af de gradientvektorer der ligger lige i nærheden. Konklusion?

Spørgsmål d#

Dette bjerg er selvfølgelig ret specielt. Men tag igen vandrestøvlerne på, og giv et intuitivt argument for hvorfor gradientvektorerne altid, på alle bjerge, må være vinkelrette på niveaukurverne?

Svar

Forslag: Hvis vi betragter niveaukurven som en sti vi spadserer ad, er turen stille og rolig. Vi går nemlig hele tiden vandret. Det forekommer naturligt at stigningen må være størst hvis vi brat ændrer retningen med 90 grader opad. Enig?

2: Kontinuitet af førstegradspolynomier#

Bevis at polynomiumsfunktionen \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x)=3x\) er kontinuert i alle punkter \(x \in \mathbb{R}\).

Hint

Brug \(\epsilon-\delta\) definitionen. Se denne ligning i noten.

Hint

Lad \(x_0\) være et vilkårligt reelt tal, og lad \(\epsilon > 0\) være givet. Du skal nu angive hvordan man kan vælge \(\delta > 0\) (det må gerne afhænge af \(x_0\) og \(\epsilon\)) så \( |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\).