Uge 3: Forberedelse

Uge 3: Forberedelse#

Læsestof#

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

Nøglebegreber#

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

  • Vektorrum med indre produkt og norm

  • \(\mathbb{R}^n\) og \(\mathbb{C}^n\)

  • Projektioner på linjen

  • Projektioner på underrum

  • Ortonormal baser

  • Gram-Schmidt proceduren

  • Ortogonale og unitære matricer

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

Forberedelsesopgaver#

I: Indreprodukt i \(\mathbb{R}^4\)#

Lad \(\pmb{u} = (1, -2, 3, 4)\) og \(\pmb{v} = (-1, 0, 2, -3)\) være vektorer i \(\mathbb{R}^4\) med det sædvanlige indreprodukt.

  1. Beregn \(\langle \pmb{u}, \pmb{v} \rangle\).

  2. Find længden (normen) af hver vektor.

  3. Kan man bestemme en vinkel \(\theta\) mellem de to vektorer?

Hint

Brug definitionen af indre produkt:

\[\begin{equation*} \langle \pmb{u}, \pmb{v} \rangle = \pmb{u}_1 v_1 + \pmb{u}_2 v_2 + \pmb{u}_3 v_3 + \pmb{u}_4 v_4 \end{equation*}\]

og normen:

\[\begin{equation*} \|\pmb{u}\| = \sqrt{\langle \pmb{u}, \pmb{u} \rangle} \end{equation*}\]

Svar

  1. Beregn \(\langle \pmb{u}, \pmb{v} \rangle\):

\[\begin{align*} \langle \pmb{u}, \pmb{v} \rangle &= (1)(-1) + (-2)(0) + (3)(2) + (4)(-3) \\ &= -1 + 0 + 6 - 12 = -7. \end{align*}\]

  1. Længden (normen) af hver vektor:

\[\begin{align*} \|\pmb{u}\| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 9 + 16} = \sqrt{30}, \\[1mm] \|\pmb{v}\| &= \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 0 + 4 + 9} = \sqrt{14}. \end{align*}\]

  1. Vinklen \(\theta\) kan bestemmes ved formlen:

\[\begin{equation*} \cos\theta = \frac{\langle \pmb{u}, \pmb{v} \rangle}{\|\pmb{u}\|\|\pmb{v}\|} = \frac{-7}{\sqrt{30}\sqrt{14}} \approx -0.341. \end{equation*}\]

Så vinklen er ca.

\[\begin{equation*} \theta \approx \arccos(-0.341) \approx 110^\circ. \end{equation*}\]

II: En ortonormal basis i \(\mathbb{R}^5\)?#

Betragt vektorerne i \(\mathbb{R}^5\):

\[\begin{equation*} \pmb{a}_1 = (1,1,0,0,0), \quad \pmb{a}_2 = (0,1,1,0,0). \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Eftervis at Gram-Schmidt-processen, der ortonormaliserer vektorerne, giver følgende resultat:

\[\begin{equation*} \pmb{u}_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0, 0\right), \quad \pmb{u}_2 = \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0, 0\right). \end{equation*}\]

Svar

Først sætter vi

\[\begin{equation*} \pmb{w}_1 = \pmb{a}_1 = (1,1,0,0,0). \end{equation*}\]

Normalisér \(\pmb{w}_1\) for at få den første ortonormale vektor:

\[\begin{equation*} \pmb{u}_1 = \frac{\pmb{w}_1}{\|\pmb{w}_1\|} = \frac{(1,1,0,0,0)}{\sqrt{1^2+1^2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,0,0\right). \end{equation*}\]

Dernæst beregnes den næste hjælpe-vektor ved at fjerne komponenten langs \(\pmb{u}_1\) fra \(\pmb{a}_2\):

\[\begin{equation*} \pmb{w}_2 = \pmb{a}_2 - \langle \pmb{a}_2, \pmb{u}_1 \rangle \, \pmb{u}_1. \end{equation*}\]

Beregner først skalarproduktet:

\[\begin{equation*} \langle \pmb{a}_2, \pmb{u}_1 \rangle = (0)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (1)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (1)(0) = \frac{1}{\sqrt{2}}. \end{equation*}\]

Så

\[\begin{equation*} \pmb{w}_2 = (0,1,1,0,0) - \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,0,0\right) = \left(0-\frac{1}{2},\,1-\frac{1}{2},\,1-0,\,0,\,0\right) = \left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,1,\,0,\,0\right). \end{equation*}\]

Til sidst normaliseres \(\pmb{w}_2\) for at få den næste ortonormale vektor:

\[\begin{equation*} \pmb{u}_2 = \frac{\pmb{w}_2}{\|\pmb{w}_2\|}. \end{equation*}\]

Beregner normen:

\[\begin{equation*} \|\pmb{w}_2\| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}. \end{equation*}\]

Derfor

\[\begin{equation*} \pmb{u}_2 = \frac{\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,1,\,0,\,0\right)}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{6}},\,\frac{1}{\sqrt{6}},\,\frac{2}{\sqrt{6}},\,0,\,0\right). \end{equation*}\]

Dette er det ønskede resultat.

Spørgsmål b#

Er den resulterende liste af vektorer \(\pmb{u}_1, \pmb{u}_2\) en orthonormal basis for \(\mathbb{R}^5\)?

Svar

Nej. De er orthonormale, men de danner ikke en basis for \(\mathbb{R}^5\), da der kun er 2 vektorer. For at være en basis for \(\mathbb{R}^5\) skal der være 5 lineært uafhængige vektorer.

III: En linear afbildning der er en projektion?#

Betragt den lineære afbildning \(\mathrm{proj}_Y: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) givet ved:

\[\begin{equation*} \mathrm{proj}_Y(\pmb{x}) = P\pmb{x}, \quad \text{hvor} \quad P = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Vis, at \(\mathrm{proj}_Y\) er en lineær afbildning.

Svar

Da \(\mathrm{proj}_Y(\pmb{x}) = P\pmb{x}\) og matrixmultiplikation er lineær, gælder

\[\begin{equation*} P(\pmb{x}+\pmb{y}) = P\pmb{x} + P\pmb{y},\quad P(c\pmb{x}) = cP\pmb{x} \end{equation*}\]

Dermed er \(\mathrm{proj}_Y\) lineær.

Spørgsmål b#

Vis, at vektorerne \((1,0,-1,0)\) og \((0,1,0,-1)\) er ortogonale på rækkerne i \(P\). Hvad har dette med nulrummet/kernen af \(P\) at gøre?

Svar

Rækkerne i \(P\) er:

\[\begin{equation*} r_1 = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0\right) \quad \text{og} \quad r_2 = \left(0, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right), \end{equation*}\]

(hvor \(r_3 = r_1\) og \(r_4 = r_2\)).

Vi ser, at

\[\begin{equation*} (1,0,-1,0)\cdot r_1 = 1\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot 0 + (-1)\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0, \end{equation*}\]

og

\[\begin{equation*} (0,1,0,-1)\cdot r_2 = 0\cdot0 + 1\cdot\frac{1}{2} + 0\cdot0 + (-1)\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \end{equation*}\]

Da disse vektorer er ortogonale til alle rækkerne i \(P\), ligger de i nulrummet for \(P\).

Opgaven fortsættes senere i denne opgave i Uge 3: Afrunding

Contents