Uge 6: Forberedelse

Uge 6: Forberedelse#

Nøglebegreber#

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

  • billedemængden af en kontinuert funktion

  • ekstremum (minimum eller maksimum)

  • globalt ekstremum

  • lokalt ekstremum

  • stationære punkter og andre betingelser

  • ekstremumsbestemmelser

  • anden ordens test og Hesse-matricen

  • positive (semi-)definite matricer

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

Læsestof#

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

Forberedelsesopgaver#

I: Maksimum og minimum af funktioner#

Læs udsagnet i den første sætning i ugens kapitel.

Spørgsmål a#

Find minimums- og maksimumsværdien samt billedmængden for funktionen: \(f : [-2,1] \to \mathbb{R}\) givet ved:

\[\begin{equation*} f(x) = x^2 \end{equation*}\]

Svar

Minimumsværdi \(m = 0\), maksimumsværdi \(M = 4\).

Svar

Da funktionen er kontinuert er billedmængden i følge sætningen et interval givet ved \(\operatorname{im}(f) = [0,4]\).

Spørgsmål b#

Vi betragter nu nogle funktioner der ikke opfylder antagelserne i sætningen:

\[\begin{align*} g_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad g_1(x) &= x^3 \\ g_2 : ]-\pi/2,\pi/2[ \to \mathbb{R}, \quad g_2(x) &= \tan(x) \\ g_3 : [-1,1] \to \mathbb{R}, \quad g_3(x) &= \begin{cases} x+1 & x \in [-1,0] \\ 3/2-x & x \in ]0,1] \end{cases} \end{align*}\]

Bestem minimums- og maksimumsværdien (såfremt de findes) samt billedmængden for hver af funktioner: \(g_i\), \(i=1,2,3\).

II: Anden afledte test i stationære punkter#

Betragt funktionen \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) givet ved

\[\begin{equation*} f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Find de stationære punkter:

  • Beregn den første afledte \(f'(x)\).

  • Sæt \(f'(x) = 0\) og løs for \(x\) for at finde de stationære punkter.

Hint

Der er to stationære punkter. Og de findes som rødderne i et andengradspolynomium.

Svar

Den første afledte:

\[\begin{equation*} f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x. \end{equation*}\]

som kan faktoriséres til:

\[\begin{equation*} f'(x) = 3x(x - 2). \end{equation*}\]

Denne sættes lig med nul:

\[\begin{equation*} 3x(x - 2) = 0, \end{equation*}\]

som har løsning \(x = 0\) og \(x = 2\). Dermed findes de stationære punkter ved \(x = 0\) og \(x = 2\).

Spørgsmål b#

Klassificer hvert stationært punkt:

  • Beregn den anden afledte \(f''(x)\).

  • Evaluer \(f''(x)\) for hvert stationært punkt:

    • Hvis \(f''(x) > 0\), er funktionen lokalt minimum.

    • Hvis \(f''(x) < 0\), er funktionen lokalt maksimum.

    • Hvis \(f''(x) = 0\), er testen inkonklusiv.

Svar

Den anden afledte er:

\[\begin{equation*} f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6. \end{equation*}\]

Evalueres \(f''(x)\) ved \(x = 0\) fås:

\[\begin{equation*} f''(0) = 6(0) - 6 = -6. \end{equation*}\]

Da \(-6 < 0\), er punktet ved \(x = 0\) et lokalt maksimum.

Evalueres \(f''(x)\) ved \(x = 2\) fås:

\[\begin{equation*} f''(2) = 6(2) - 6 = 6. \end{equation*}\]

Da \(6 > 0\), er punktet ved \(x = 2\) et lokalt minimum.

Spørgsmål c#

Overvej de teoretiske udsagn i forrige spørgsmål. Lav en skitse af grafen for \(f(x)\) i Python for visuelt at bekræfte dine resultater.

d#

Er det fundne lokale minimum også globalt minimum? Er det fundne lokale maksimum også globalt maksimum?

Svar

Nej og nej. Billedmængden er hele \(\mathbb{R}\) da \(f\) er et 3. gradspolynomium så der er intet globalt minimum eller maksimum.

Contents