Uge 5: Forberedelse

Uge 5: Forberedelse#

Læsestof#

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

Nøglebegreber#

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

  • Tangentlinjer og tangentplaner

  • Taylorpolynomier i én variabel

  • Taylorpolynomier i n variabel

  • Taylorpolynomier for vektorfunktioner

  • Taylors sætning

  • Taylors grænseformel \(f(x) = P_K(x) + \phantom{x}\) led med \(\varepsilon\)-funktion.

  • Restled og restledsvurdering

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

Forberedelsesopgaver#

I: Tangentlinjer og tangentplaner#

Spørgsmål a: Tangentlinje (én variabel)#

For funktionen \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) givet ved:

\[\begin{equation*} f(x) = x^2 \end{equation*}\]

find ligningen for tangentlinjen ved \(x_0 = 1\).

Hint

Beregn \(f(1)\) og \(f'(1)\) og brug så den velkendte formel for linjens hældning:

\[\begin{equation*} f'(1) = \frac{y - f(1)}{(x-1)}. \end{equation*}\]

Isolér nu \(y\).

Svar

\(y = 1 + 2(x-1)\)

Spørgsmål b: Tangentplan (to variable)#

For funktionen \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) givet ved:

\[\begin{equation*} f(x,y) = x^2 + y^2 \end{equation*}\]

find ligningen for tangentplanen i punktet \((1,1)\).

Hint

Beregn gradienten \(\nabla f(1,1)\) og brug formlen

\[\begin{equation*} z = f(1,1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,1)(x-1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)(y-1). \end{equation*}\]

Svar

\(z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1)\)

Intuitiv forklaring

En tangentlinje er her den linje, der “berører” en kurve i ét punkt uden at krydse den. På samme måde er et tangentplan her en flade, der “berører” en 3D-overflade i ét punkt. Tangentlinjen og tangentplanen beskrives ved Taylorpolynomier af første grad.

II: Taylorpolynomier i én variabel#

Spørgsmål a: Førstegradsapproksimation#

Find førstegrads Taylorpolynomiet for

\[\begin{equation*} f(x) = \sin(x) \end{equation*}\]

ved udviklingspunktet \(x_0 = 0\). Dette polynomium kaldes også for det approksimerende af første grad.

Hint

Brug \(f(0)\) og \(f'(0)\).

Svar

\(P_1(x) = 0 + 1\cdot x = x\)

Spørgsmål b: Andengradsapproksimation#

Find andengrads Taylorpolynomiet for

\[\begin{equation*} f(x) = \cos(x) \end{equation*}\]

ved udviklingspunktet \(x_0 = 0\). Dette polynomium kaldes også for det approksimerende af anden grad.

Hint

Brug \(f(0)\), \(f'(0)\) og \(f''(0)\).

Svar

\(P_2(x) = 1 + 0\cdot x + \frac{-1}{2}x^2 = 1 - \frac{1}{2}x^2\)

Intuitiv forklaring

Taylorpolynomier giver os en måde at tilnærme en “kompliceret” funktion med en sum af enkle polynomiumsled. Førsteordenspolynomiet giver en lineær tilnærmelse, mens andenordenspolynomiet inkluderer et kvadratisk led for bedre præcision.

III: Store O-notation og væksthastigheder#

Note

Vi går her lidt uden for pensum: Store O-notation bruges til at beskrive, hvor hurtigt en funktion cirka vokser. Hvis en funktion fx er \(O(n^2)\), betyder det, at den vokser med en hastighed, der højst er proportional med \(n^2\), når \(n\) går mod uendeligt.

For et givet funktionsudtryk, er det oftest tilstrækkeligt at kigge på det led, der vokser hurtigst, da lavere ordens led og konstanter ikke påvirker asymptotisk vækst. Fx er \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) givet ved

\[\begin{equation*} f(n) = 2^n + 100 n^5, \end{equation*}\]

af orden \(O(2^n)\), da eksponentiel vækst \(2^n\) vokser meget hurtigere end polynomiel vækst \(n^5\), når \(n\) bliver stor.

Intuitiv forklaring:
Ved store \(n\) dominerer leddet \(2^n\), og \(100n^5\) bliver relativt ubetydeligt. Derfor ser vi kun på det hurtigst voksende led, når vi bestemmer asymptotisk vækst.

Nu til opgaven. Lad

\[\begin{equation*} f(n) = 4n^2 + 10n + 6. \end{equation*}\]

Vis, at \(f(n)\) er \(O(n^2)\). Det vil sige, find konstanter \(C > 0\) og \(n_0 \in \mathbb{N}\), så for alle \(n \geq n_0\) gælder:

\[\begin{equation*} |4n^2 + 10n + 6| \leq C \cdot n^2. \end{equation*}\]

Hint

For \(n \geq 1\), bemærk at:

\[\begin{equation*} 10n \leq 10n^2 \quad \text{og} \quad 6 \leq 6n^2. \end{equation*}\]

Brug disse uligheder til at vise:

\[\begin{equation*} 4n^2 + 10n + 6 \leq 4n^2 + 10n^2 + 6n^2 = 20n^2. \end{equation*}\]

Svar

Ud fra hintet ses at man fx kan vælge \(C = 20\) og \(n_0 = 1\).

Contents