Uge 8: Forberedelse

Uge 8: Forberedelse#

Nøglebegreber#

Når du har læst bør du kunne forklare følgende nøglebegreber:

  • Riemann-integralet for skalarfunktioner af n variable

  • Riemann-integralet for vektorfunktioner

  • Transformationssætningen: Koordinatskifte i \(\mathbb{R}^n\)

  • Jacobi-determinanten

  • Typiske koordinater:

    • I \(\mathbb{R}^2\): Kartesiske og polære koordinater

    • I \(\mathbb{R}^3\): Kartesiske, sfæriske/kugle, cylinder/semi-polære koordinater

I ugens program arbejder vi videre med nøglebegreberne – vi forventer altså ikke at du kender alle detaljer om disse begreber, men vi forventer at du har stiftet bekendtskab med dem inden forelæsning.

Læsestof#

Vi anbefaler at du læser i bogen. At se YouTube-videoer om ugens emner kan være nyttigt, men det er ikke noget vi specielt anbefaler, og det bør ikke træde i stedet for egentlig forberedelse til ugens program.

Du skal læse og studere:

Forberedelse og pensum#

  • Læsepensum: Resten af kapitel 6

  • Python demo

Forberedelsesopgaver#

I: Stamfunktioner for funktioner af flere variable?#

Lad \(f : [0,2] \times [0,3] \to \mathbb{R}\) givet ved \(f(x,y) = x y^2\). I denne opgave skal vi diskutere om \(f\) har en stamfunktion. Husk at en stamfunktion er en differentiabel funktion hvis afledte er \(f\) og at en stamfunktion normalt kan bruges til på simpel vis at udregne integralet af \(f\).

Hvis \(f\) har en stamfunktion \(F\), hvad er så definitionsmængden af \(F\)?

Svar

Da \(f(x,y)=x y^2\) er en funktion af to variable, må \(F\) også være en funktion af to variable \(F(x,y)\). Definitionsmængden af \(F\) må være den samme som for \(f\) nemlig \([0,2] \times [0,3]\).

Hvad er den afledte af sådan en stamfunktion \(F(x,y)\)? Kan den afledte være lig med \(f\)?

Svar

Den afledte af \(F\) er gradienten. Gradienten \(\nable F(x,y)\) er en vektor i \(\mathbb{R}^2\) bestående af de partielle afledte, så denne kan ikke være lig med \(f(x,y)\). Konklusionen må være at stamfunktionsbegrebet ikke generaliserer sig til skalære funktioner af flere variable.

Du kan overveje om der så findes en funktion som “kan bruges til på simpel vis (a la \(F(b)-F(a)\) som i 1D) at udregne integralet af \(f\) dvs \(\int_{[0,2] \times [0,3]} f(x,y) d(x,y)\)”.

II: Billedmængden af en parametrisering#

Betragt parametriseringen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v) = \begin{bmatrix} u \\ 2uv \end{bmatrix}, \quad u \in [0,2], \quad v \in [0,1]. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Beskriv det parametriserede område \(\operatorname{im}(\pmb{r})\).

Hint

Fastholdt \(u\). Bestem de mulige værdier for \(\pmb{r}(u,v)\), mens \(v\) varierer over dens domæne.

III: Matematisk parametrisering af jorden#

Jordens centrum placeres i origo, \(x\)-aksen peger mod nulmeridianen ved ækvator, og \(z\)-aksen peger mod nord. Lad \(R\) være jordens radius, og lad \(d\) være dybden under overfladen.

Note

Husk at nulmeridianen går fra nordpolen til sydpolen gennem Observatoriet i Greenwich ved længdegrad \(0^\circ\)

Spørgsmål a#

Angiv en parametrisering for den nordlige halvkugle fra længdegrad \(0^\circ\) til \(45^\circ\) og fra jordens dybde \(d\) under overfladen til overfladen \(R\).

Hint

Overvej placeringen af \(y\)-aksen.

Hint

Brug sfæriske koordinater, hvor radius varierer mellem \(R-d\) og \(R\).

Spørgsmål b#

Hvordan finder man volumen af området beskrevet i forrige opgave?

Contents