Uge 2: Afrunding#
Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.
Nøglebegreber#
Vektorfunktioner af flere variable
Retningsafledte
Differentiabilitet
Jacobi-matricen (eller under tiden blot jacobianten, engelsk: the jacobian (matrix)), Gradientvektoren
Kædereglen
Hesse-matricen (engelsk: the hessian)
Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.
Ekstra opgaver#
Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program. De følgende ekstraopgaver er udelukkende et frivilligt tilbud for dem, der ønsker yderligere træning og udfordring.
1: Diskontinuitet af Heaviside’s trin-funktion#
Denne opgave vender tilbage til temaet fra uge 1: Kontinuitet (eller rette: manglen på kontinuitet)
Spørgsmål a#
Plot Heaviside’s trin-funktion givet her i Python.
Hint
Se ugens Python demo.
Spørgsmål b#
Angiv i hvilke punkter funktionen er diskontinuert.
Svar
Funktionen er kun diskontinuert i \(0\).
Spørgsmål c#
Kan du vise a funktionen er diskontinuert i \(x_0=0\).
Hint
Diskontinuitet i et punkt betyder intuitivt at funktionen springer i dette punkt. Dette er dog ikke en definition vi kan arbejde med. Fx findes der mange funktioner som tilsyneladende “springer” over alt, men som alligevel er kontinuerte. Thomae’s funktion er et eksempel på en funktion, der tilsyneladende “springer” på hele den reelle linje, men som alligevel er kontinuert i alle irrationelle tal (og diskontinuert i alle rationelle tal!).
Hint
For at bevise diskontinuitet må vi have fat i den præcise betydning af denne egenskab. Find \(\epsilon-\delta\)-beskrivelsen i lærebogen.
Hint
En funktion \(f\) er diskontinuert i \(x_0\) hvis vi kan finde et \(\epsilon > 0\) således at intet \(\delta > 0\) kan få \(|x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\) til at være sand.
Skrevet med kvantorer: \(f\) er diskontinuert i \(x_0\) hvis og kun hvis \(\exists \epsilon >0 \forall \delta >0 \exists x : |x-x_0| < \delta \text{ og } |f(x)-f(x_0)| \ge \epsilon\).
Hint
Funktionen er diskontinuert i \(0\), så vi skal betragte \(x_0 = 0\). Husk at Heaviside-funktionen opfylder \(f(0)=1\).
Hint
Vælg \(\epsilon = 1/2\) (den præcise værdi er underordnet så længe den er \(<1\)).
Svar
Lad \(\delta>0\) være et vilkårligt lille tal, fx \(\delta = 10^{-100}\) (men husk at \(\delta\) kan være vilkårligt lille; dog større end nul). Vælg \(x = -\delta/2\). Så vil \(|x-x_0| = |-\delta/2 - 0| = \delta/2 < \delta\) og \(|f(x)-f(x_0)| = |0 - 1| = 1 \ge 1/2 = \epsilon\). Dette viser at Heaviside-funktionen er diskontinuert i \(x_0 = 0\). Alternativt kan vi tænke på dette som, at intet \(\delta > 0\) kan få \(|x-0| < \delta \Rightarrow |f(x)-1| < 1/2\) til at være sand.
Oven for kan man også vælge \(x = -\delta/3\) (Hvorfor egentligt det?). Men argumentet bryder sammen, hvis man vælger fx \(x = \delta/2\).
2: Ortogonalitet mellem en parametriseret niveaukurve og gradienten#
Vi betragter funktionen \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) givet ved
En niveaukurve for \(f\) er givet ved \(f(x,y) = c\) for en konstant \(c>-4\).
Spørgsmål a#
Vis at gradienten af \(f\) er givet ved
Svar
Da
får vi
Spørgsmål b#
Betragt den parametriserede kurve \(\pmb{r}(t)\) givet ved:
Verificér at denne kurve ligger på niveaukurven \(f(x,y) = c\).
Hint
Sæt \(x=t+2\) og \(y=\sqrt{c+4-t^2}\) ind i niveaukurvens ligning.
Svar
Skriv niveaukurvens ligning på formen
Med \(x=t+2\) har vi \((x-2)^2= t^2\) og \(y^2=c+4-t^2\). Derfor:
Da \(f(x,y)= (x-2)^2+y^2-4\), får vi
Dermed er \(\operatorname{im}(\pmb{r})\) en delmængde af niveaukurven \(f(x,y)=c\).
Spørgsmål c#
Beregn tangentvektoren \(\pmb{r}'(t)\) til kurven og undersøg, om den er ortogonal på gradienten \(\nabla f(x,y)\) for ethvert punkt \(\pmb{r}(t)\), \(t \in \Bigl]-\sqrt{c+4},\sqrt{c+4}\Bigr[\).
Hint
Differentier \(\pmb{r}(t)\) med hensyn til \(t\) og udregn derefter det indre produkt (prikproduktet) af tangentvektoren og gradienten, evalueret i punktet \(\pmb{r}(t)\).
Svar
Differentiering af
giver
Gradienten er
Udregn prikproduktet:
Da prikproduktet giver nul for alle \(t\), er tangentvektoren ortogonal til gradienten ved alle punkter på den parametriserede del af niveaukurven.
Spørgsmål d#
Kan du finde en bedre parametrisering (end den ovenfor), der parametriserer hele niveaukurven \(f(x,y)=c\)?
Hint
Overvej at bruge en “vinkel”-parameterisering af cirklen ved brug af sinus og cosinus.
3: Retningsafledede og gradienten#
Betragt funktionen
Spørgsmål a#
Vis, at den retningsafledede af \(g\) i retningen af en enhedsvektor \(\pmb{v} \in \mathbb{R}^2\) er givet ved
Spørgsmål b#
Beregn den retningsafledede af \(g\) i punktet \((2,1)\) i følgende retninger:
\(\pmb{e}_1 = \left(1,0\right)\) (første koordinatretning).
\(\pmb{e}_2 = \left(0,1\right)\) (anden koordinatretning).
\(\pmb{v}_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) (diagonal retning).
\(\pmb{v}_2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\) (en anden enhedsretning).
Den modsatte retning af ovenstående retninger
I gradientens retning \(\frac{\nabla g(2,1)}{||\nabla g(2,1)||}\).
I den modsatte gradientretning \(-\frac{\nabla g(2,1)}{||\nabla g(2,1)||}\).
Hint
Beregn \(\nabla g(2,1)\) og dens norm.
Svar
Gradienten i \((2,1)\) er:
Normen af gradienten er:
For \(\pmb{v}_1\):
For \(\pmb{v}_2\):
I gradientens retning:
I den modsatte gradientretning:
Spørgsmål c#
Den retningsafledede er per definition ændringshastigheden af funktionen i en given retning. Hvilken retning giver den største hhv. den mindste retningsafledede?
Hint
Sammenlign de beregnede værdier og bemærk, hvilken der svarer til norm af gradienten.
Svar
Den største retningsafledede er
som svarer til \(||\nabla g(2,1)||\). Denne maksimale værdi opnås, når vi bevæger os i gradientens retning, hvilket bekræfter, at gradienten “peger i retningen af den stejleste stigning”. Tilsvarende er den mindste (dvs. mest negative) retningsafledede \(-2\sqrt{5}\), opnået i den modsatte retning.