Hjemmeopgave 2

Hjemmeopgave 2#

Læs reglerne her: Hjemmeopgaver

Husk, alle svar skal begrundes.

Opgave 1: Beregning af cosinus-værdier#

I Python kan værdien af fx \(\cos(\sqrt{17})\) udregnes approksimativt ved kaldet:

import math

print(math.cos(math.sqrt(17)))

men hvordan udregner en computer egentlig dette? En computer bruger enten en precomputed lookup table eller approksimative polynomier eller en blanding af de to. I denne opgave ser vi på hvordan man kan gøre med Taylorpolynomier.

Vi betragter funktionen \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) med forskrift:

\[\begin{equation*} f(x)=\cos (x) \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Bestem det approksimerende polynomium \(P_4 = P_{4,f,x_0}\) af grad (højst) 4 og med udviklingspunkt \(x_0 = 0\) for cosinus.

Spørgsmål b#

Brug det fundne polynomium \(P_4\) til at give en approksimativ værdi for \(\cos(1/2)\) og vurder hvor langt den fundne værdi ligger fra den eksakte.

Spørgsmål c#

Lad \(I = [-\pi/2, \pi/2]\). Brug Sætning 4.3.3 til at vise at

\[\begin{equation*} \lvert \cos(x) - P_4(x) \rvert \le \frac{(\pi/2)^5}{5!} < \frac{2^5}{5!} \end{equation*}\]

for alle \(x \in [-\pi/2, \pi/2]\). Forklar med egne ord hvad tallet/størrelsen:

\[\begin{equation*} \max_{x \in [-\pi/2, \pi/2]} \lvert \cos(x) - P_4(x) \rvert \end{equation*}\]

beskriver.

Spørgsmål d#

Vis at K’te grads Taylorpolynomiet \(P_K\) med udviklingspunkt \(x_0 = 0\) for cosinus opfylder

\[\begin{equation*} \lvert \cos(x) - P_K(x) \rvert < \frac{2^{K+1}}{(K+1)!} \end{equation*}\]

for alle \(x \in [-\pi/2, \pi/2]\). Bestem \(K\) så fejlen er mindre end \(10^{-10}\). Med “fejlen” menes den større afvigelse mellem \(P_K(x)\) og \(\cos(x)\) for \(x \in [-\pi/2, \pi/2]\).

Hint

Du behøver ikke udregne \(P_K(x)\).

Når du skal bestemme \(K\), er det nok at kigge på højresiden \(\frac{2^{K+1}}{(K+1)!}\).

Spørgsmål e#

Vi kan nu med god nøjagtighed udregne \(\cos(x)\) for ethvert \(x \in [-\pi/2, \pi/2]\) ved hjælp af Taylorpolynomiet \(P_K\) med udviklingspunkt \(x_0 = 0\) (for et fast, men tilstrækkeligt højt valgt \(K\)). Men hvordan udregner vi effektivt en tilnærmet værdi af \(\cos\) på resten af den reelle linje, altså når \(x\) ligger uden for intervallet \([-\pi/2, \pi/2]\)?

For at svare på dette spørgsmål lader vi \(x \in [-\pi/2, \pi/2]\) være givet og antager at værdien af \(\cos(x)\) er kendt (fx udregnet approksimativt som ovenfor). Forklar hvordan man for et vilkårligt givet \(y \in \mathbb{R}\) nu kan finde værdien af \(\cos(y)\).

Hint

Du skal kun bruge egenskaber for cosinus. Tegn grafen for \(\cos\) på \([-2\pi,2\pi]\). Brug at \(\cos\) er periodisk og “ulige” omrking \(x = \pi/2\).

Opgave 2: L’Hôpitals regel og Taylors grænseformel#

L’Hôpitals regel bruges til at bestemme grænseovergange af typen \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) hvor \(f(a)=0\) og \(g(a)=0\). Grænseovergangen siges i dette tilfælde at være at typen \(\frac{0}{0}\). Reglen siger:

Sætning (L’Hôpital’s Regel)

Lad \(I \subseteq \mathbb{R}\) være et åbent interval, lad \(a \in I\), og lad \(f\) og \(g\) være differentiable på \(I\setminus \{a\}\). Antag at:

  1. \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0\),

  2. \(g'(x) \neq 0\) for \(x \in I \setminus \{a\}\),

  3. Grænseovergangen \(\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) findes,

så gælder:

\[\begin{equation*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{equation*}\]

Betragt grænseovergangen:

\[\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{1 - \sqrt{1 + x}}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Vis, at denne grænse er af typen \(\frac{0}{0}\).

Spørgsmål b#

Tjek, at \(g'(x) \neq 0\) for \(x\) tæt på \(0\), så vi kan bruge reglen.

Spørgsmål c#

Anvend L’Hôpital’s regel for at bestemme grænseværdien.

Spørgsmål d#

Find samme grænseovergang ved at bruge Taylor’s grænseformel for \(\ln(1 + x)\) og \(\sqrt{1 + x}\) op til passende orden.

Spørgsmål e#

Bevis L’Hôpital’s regel ud fra Taylors grænseformel for generelle funktioner \(f(x)\) og \(g(x)\), der opfylder antagelserne i L’Hôpital’s regel.

Hint

Brug Taylorudviklingen af \(f(x)\) og \(g(x)\) omkring \( x = a \), op til første orden med epsilon-funktioner:

\[\begin{equation*} f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \epsilon_f(x-a)(x-a), \end{equation*}\]

og

\[\begin{equation*} g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \epsilon_g(x-a)(x-a). \end{equation*}\]

Hint

Brug hvad du ved om \(f(a)\) og \(g(a)\).

Opgave 3: Værdimængden af en kontinuert, differentiabel funktion#

Lad \(B\) være mængden \(B=\left\{ (x_1 , x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + x_2^2 \leq 2 \wedge x_1 \leq 0 \right\}\).

En funktion \(f:B \rightarrow \mathbb{R}\) er givet ved:

\[\begin{equation*} f(x_1 ,x_2) = x_1^2​ + x_2^2 + x_1​ + 1 \end{equation*}\]

Angiv værdimængden for \(f\).

Opgave 4: Lokale ekstrema#

En funktion \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) er givet ved:

\[\begin{equation*} f(x_1 ,x_2 )=x_1^2 - 2x_1 +3x_2^5 - 5x_2^3. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Find samtlige stationære punkter for \(f\).

Spørgsmål b#

Angiv om der er tale om lokalt maksimum, minimum eller om der er saddelpunkt i de stationære punkter.

Spørgsmål c#

Plot for hvert stationært punkt funktionen sammen med det approksimerende polynomium \(P_{2}\) af grad (højst) 2.

Contents