Uge 7: Afrunding

Uge 7: Afrunding#

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber#

  • Riemann-integralt: det bestemte integral

  • Inddeling og Middelsummer

  • Infinitesimalregningens hovedsætning

  • Stamfunktion: det ubestemte integral

  • Partial integration og substitutionsmetoden

  • Riemann-integration af funktioner af to variable

  • Koordinatskifte i 2D

  • Polære koordinater

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver#

Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program. De følgende ekstraopgaver er udelukkende et frivilligt tilbud for dem, der ønsker yderligere træning og udfordring.

1: Otte stamfunktioner der nu bør sidde#

Angiv en stamfunktion til hver af de følgende funktioner:

  1. \(x^n\), hvor \(n\) er en vilkårlig konstant i \(\mathbb Z\)

  2. \(x^k\), hvor \(k\) er en vilkårlig konstant i \(\mathbb Q\)

  3. \(\frac{1}{a x+b}\), hvor \(a\neq 0\) og \(b\) er vilkårlige konstanter i \(\mathbb{R}\), og \(x\) i passende interval.

  4. \(\cos(a x+b)\), hvor \(a\neq 0\) og \(b\) er vilkårlige konstanter i \(\mathbb{R}\).

  5. \(f'(x)\), hvor \(f\) er differentiabel

  6. \(\sin(a x+b)\), hvor \(a\neq 0\) og \(b\) er vilkårlige konstanter i \(\mathbb{R}\).

  7. \(\exp(a x+b)\), hvor \(a\neq 0\) og \(b\) er vilkårlige konstanter i \(\mathbb{R}\).

  8. \(\exp(a x+b)\), hvor \(a\neq 0\) og \(b\) er vilkårlige konstanter i \(\mathbb{C}\).

Svar

Punkt 1: Antag \(n>0:\) Som i punkt 1 i Opgave I: Stamfunktioner til udenadslære. Antag \(n=0:\) Så drejer det sig om at finde en stamfunktion til 1. Antag \(n=-1:\) Idet \(x^{-1}=\frac 1x,\) er det som i punkt 2 i Opgave I: Stamfunktioner til udenadslære. Antag \(n=<-1:\) Eksempel: \(\int u^{-3} \mathrm{d}u=\frac{1}{-3+1}u^{-3+1}=-\frac{1}{2}u^{-2}\) som viser at \(-\frac{1}{2u^2}\) er en stamfunktion til \(\frac{1}{u^3}\).

Punkt 2: Antag at \(k\neq -1:\) \(\int x^{\frac pq}\mathrm{d}x=\frac{1}{\frac pq+1}x^{\frac pq+1}\)

Punkt 3: \(\frac 1a \ln(a x+b)\)

Punkt 4: \(\frac 1a \sin(a x+b)\)

Punkt 5: \(f(x)\)

På samme måde med punkt 6, 7 og 8.

2: Parametrisering af en trekant#

Betragt mængden \(V \subset \mathbb{R}^2\) givet ved

\[\begin{equation*} V = \bigl\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \big| x \ge 1 \wedge y \ge 0 \wedge x + y \le 3 \bigr\} \end{equation*}\]

Angiv en parametrisering \(\pmb{r}: [0,1]^2 \to V\) af \(V\). Vektorfunktionen \(\pmb{r}\) skal være en funktion af to variable, fx \((u,v) \in [0,1]^2\), og billedmængden af \(\pmb{r}\) skal være \(V\).

Note

Funktionen \(\pmb{r}\) bør være injektiv på den åbne mængde \(]0,1[^2\), men det er ikke et krav.

Contents