Uge 9: Øvelser

Opgaverne er ikke opdelt i store og lille dag, da de to skemagrupper har store og lille dag hhv. først og sidst. Det er meningen at I skal nå alle opgaver samlet over de to dage.

Opgaver – Store og Lille Dag

Note

Med jacobianten mener vi jacobi-funktionen \(\sqrt{\det(\pmb{J}^T \pmb{J})}\) (dvs forvrængnings-faktoren, altså den areal/volumen-korrigerende faktor), der også kaldes den geometriske tensor. Jacobi-matricen og Jacobi-determinanten skrives fuldt ud i opgaverne. Både på dansk og engelsk bruges ordet “jacobianten/jacobian” om alle tre begreber, og man bør derfor være påpasselig med at bruge ordet “jacobianten/jacobian”. Oftest bruges “jacobian” dog om forvrængning-faktoren, og vi bruger denne tradition.

1: Et simpelt kurveintegral i planen

I denne opgave skal vi integrere en skalar funktion over en ret linje.

Spørgsmål a

Betragt den rette linje \(\mathcal{L}\) fra \(\left(0,0\right)\) til \(\left(3,4\right)\) i planen \(\mathbb{R}^2\). Angiv en parameterfremstilling \(r\left(u\right)\) for kurven, hvor \(u\in \left[0,1\right]\), og bestem den tilhørende jacobiant.

Spørgsmål b

Givet funktionen \(f\left(x,y\right)=x+y\) . Udregn kurveintegralet \(\int_{\mathcal{L}} f\left(x,y\right) \mathrm{d}s\).

2: Kurveintegral af en skalar funktion i rummet

I \((x,y,z)\)-rummet betragtes cirklen \(\mathcal{C}\) givet ved

\[\begin{equation*} \mathcal{C}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x^2+(y-1)^2=4 \wedge z=1\right\}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Angiv centrum og radius for \(\mathcal{C}\). Vælg en parameterfremstilling \(\pmb r(u)\) for \(\mathcal{C}\) svarende til ét gennemløb af cirklen. Bestem den til parameterfremstillingen svarende Jacobiant.

Svar

Centrum i \((0,1,1)\). For eksempel \(\pmb r(u)=(2\cos(u),2\sin(u)+1,1)\) hvor \(u \in [0,2\pi[\). Jacobianten er \(\Vert \pmb r'(u) \Vert =2\).

Spørgsmål b

Givet funktionen \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\). Bestem restriktionen \(f(\pmb r(u))\) og bestem kurveintegralet

\[\begin{equation*} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\mathrm{d}s \end{equation*}\]

Svar

Restriktionen til kurven er \(f(\pmb r(u))=6+4\sin(u)\). Kurveintegralet af \(f\) langs \(\mathcal{C}\)

\[\begin{equation*} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\mathrm{d}s = 24 \pi \end{equation*}\]

Spørgsmål c

I bogen nævnes det at kurveintegralet er uafhængigt af den valgte parameterfremstilling for cirklen. Afprøv andre parameterfremstillinger, fx via re-parametriseringer (som \(t=-2\pi u\)), og udregn kurveintegralet baseret på dem. Du kan fx ændre omløbsretningen eller gennemløbshastigheden.

Spørgsmål d

Er kurveintegralet afhængigt af cirklens beliggenhed? Prøv fx at parallelforskyde cirklen \(1\) i \(y\)-aksens retning, og udregn kurveintegralet på ny.

Svar

Kurveintegralet er selvfølgelig afhængigt af cirklens beliggenhed. Det må man forvente når funktionen \(f\) ikke er konstant.

3: Længden af et hængende kabel

Vi betragter et ikke-elastisk, frithægende kabel ophængt mellem to master, der kun er påvirket af tyngdekraften (og trækkraften i kablet). Den matematisk form vi bruger er en kædelinje (også kaldet en katenær-kurve). Ligningen er

\[\begin{equation*} y = a \cosh (x/a) \end{equation*}\]

hvor \(a\) er afstanden til det laveste punkt over \(x\)-aksen. Vi antager kablet er fasthængt i \(y=5\) (dvs. \(y \in [a,5]\)). Det kan være nyttigt at huske identiteten \(\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1\).

Spørgsmål a

Antag \(0 < a \le 5\). Angiv en parametrisering for kurven

\[\begin{equation*} \mathcal{C}_a = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = a \cosh (x/a) \, \wedge \, y \le 5\}. \end{equation*}\]

Specielt skal parameterintervallet angives (her må SymPy’s solve gerne bruges). Dernæst skal normen af tangent-vektoren (dvs jacobianten) udregnes.

Spørgsmål b

Plot kurven for \(a=0.5, a=1, a=2\) i Python. Opskriv integralformlen for længden af kurven \(\mathcal{C}_a\). Find en decimaltals approksimation af længden af kurverne \(\mathcal{C}_{0.5}\), \(\mathcal{C}_1\) og \(\mathcal{C}_2\) ved hjælp af Python.

4: Kurveintegral af vektorfelt I

I \((x,y)\)-planen er der givet et vektorfelt

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad \pmb{V}(x,y)=(x^2-2xy,y^2-2xy) \end{equation*}\]

samt en kurve \(\mathcal{C}\) givet ved ligningen

\[\begin{equation*} y=x^2, \quad x\in\left[ -1,1\right]. \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Bestem en parametrisering af \(\mathcal{C}\). Udregn Jacobianten og tjek at din parametrisering er regulær.

Spørgsmål b

Bestem nu det tangentielle kurveintegral

\[\begin{equation*} \int_\mathcal{C}\pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s}. \end{equation*}\]

5: Kurveintegral af vektorfelt II

I \((x,y,z)\)-rummet er der givet et vektorfelt

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)=(y^2-z^2,2yz,-x^2) \end{equation*}\]

samt en kurve \(\mathcal{C}\) med parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u)=(u,u^2,u^3), \quad u\in\left[ 0,1\right] . \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Argumenter for at \(\pmb{r}\) er en regulær \(C^1\) parameterfremstilling.

Spørgsmål b

Bestem det tangentielle kurveintegral

\[\begin{equation*} \int_\mathcal{C}\pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s}. \end{equation*}\]

6: Integration af vektorfelt langs trappelinje

I planen betragtes et vilkårligt punkt \(\pmb{x}=(x_1,x_2)\) og vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad \pmb{V}(x_1,x_2)=(x_1x_2,x_1). \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Bestem det tangentielle kurveintegral af \(\pmb{V}\) langs den rette linje \(\mathcal{C}\) fra \(\pmb{x}_0=\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\).

Svar

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{C}} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{s} = \frac{1}{3}x_1^2x_2+\frac{1}{2} x_2 x_1 \end{equation*}\]

Spørgsmål b

Ved trappelinjen fra \(\pmb{x}_0=\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\) forstås den stykkevis rette linje der går fra \((0,0)\) til punktet \((x_1,0)\) og derefter fra \((x_1,0)\) til \((x_1,x_2)\)

På et stykke papir med \((x_1,x_2)\)-koordinatsystem: Skitsér trappelinjen for forskellige valg af \(\pmb{x}\). Bestem derefter det tangentielle kurveintegral af \(\pmb{V}\) langs trappelinjen \(\mathcal{T}\) fra \(\pmb{x}_0=\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\).

Hint

Om trappemetoden: Se ugens Python-demoer.

Hint

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{T}} \pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s} = \int_0^{x_1} V_1(u,0)\mathrm{d} u+\int_0^{x_2} V_2(x_1,u)\mathrm{d} u. \end{equation*}\]

Svar

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{T}} \pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s} = x_1 x_2. \end{equation*}\]

Spørgsmål c

Afgør ud fra dine svar på spørgsmål a) og b) om \(\pmb{V}\) er et gradientvektorfelt.

Svar

Svaret er nej, fordi kurveintegralet ikke er uafhængigt af vejen.

Spørgsmål d

Der er en lettere måde at afgøre om et vektorfelt er et gradientvektorfelt (i hvert fald når vektorfeltet er defineret på hele \(\mathbb{R}\)). Hvad er denne måde?

Hint

Udregn Jacobi-matrix for \(\pmb{V}\). Find de to lemmaer i bogen der er relevante.

Svar

For vektorfelter på et åbent og enkelt-sammenhængende domæne (som i denne opgave) er feltet et gradientfelt hvis og kun hvis Jacobi-matricen er symmetrisk.

7: Stamfunktionsproblemet i \(\mathbb{R}^3\)

I rummet betragtes et vilkårligt punkt \(\pmb{x}=(x_1,x_2,x_3)\), vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x_1,x_2,x_3)=\begin{bmatrix} x_2\cos (x_1 x_2) \\ x_3+x_1 \cos (x_1x_2) \\ x_2 \end{bmatrix} \end{equation*}\]

og vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{W}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{W}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{1+x_1^2x_2^2+2x_1 x_2x_3^2+x_3^4} \begin{bmatrix} x_2 \\ x_1 \\ 2x_3 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Udregn Jacobi-matricen for \(\pmb{V}\). Er \(\pmb{V}\) et gradientvektorfelt?

Spørgsmål b

Angiv samtlige stamfunktioner for \(\pmb{V}\).

Hint

Bestem det tangentielle kurveintegral af \(\pmb{V}\) fx langs trappelinjen fra \(\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\).

Hint

Ved trappelinjen fra \(\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\) forstås den stykkevis rette linje der går fra \((0,0,0)\) til punktet \((x_1,0,0),\) derefter fra \((x_1,0,0)\) til \((x_1,x_2,0)\) og til sidst fra \((x_1,x_2,0)\) til \((x_1,x_2,x_3)\).

Hint

Om trappemetoden: Se ugens Python-demoer.

Svar

Kurveintegralet er:

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{T}} \pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s} = \sin(x_1x_2)+x_2x_3 \end{equation*}\]

og samtlige stamfunktioner er derfor

\[\begin{equation*} f(x_1,x_2,x_3)=\sin(x_1x_2)+x_2x_3+C, \quad C \in\mathbb{R}. \end{equation*}\]

Spørgsmål c

Lad \(\mathcal{H}\) være en helix med parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u)=(\cos(u),\sin(u),u), \quad u\in[0,2\pi]. \end{equation*}\]

Udregn det tangentielle kurveintegral

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{H}} \pmb{V}\cdot \mathrm{d}\pmb{s}. \end{equation*}\]

Hint

Du behøver ikke udregne Jacobi-funktionen for \(\pmb{r}\). Der er en lettere metode ved brug af svaret fra spørgsmål b.

Spørgsmål d

Bestem ved hjælp af Sympy det tangentielle kurveintegral af \(\pmb{W}\) langs en ret linje fra \(\pmb{0}\) til det vilkårlige punkt \(\pmb{x}\).

Spørgsmål e

Undersøg om \(\pmb{W}\) er et gradientvektorfelt og angiv i bekræftende fald samtlige stamfunktioner.

Svar

Svaret er ja, hvilket fx ses ved at gøre prøve \(\nabla f = \pmb{W}\), og samtlige stamfunktioner er

\[\begin{equation*} f(x_1,x_2,x_3)=\arctan(x_1 x_2+x_3^2)+C,\quad C \in\mathbb{R}. \end{equation*}\]

8: Hvad kan have en stamfunktion?

For skalare funktioner af en variabel så vi, at hvis \(F'(x) = f(x)\), så er \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\) (Infinitesimalregningens hovedsætning). I denne opgave skal vi diskutere om der er en lignende “genvej” til at udregne integraler i flere variable. Det kræver, at vi er meget skarpe på, hvilke typer funktioner der overhovedet kan indgå i en sådan sammenhæng. I forrige opgave fandt vi stamfunktioner til vektorfelter \(\pmb{V}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\). Husk at vektorfelter er vektorfunktioner \(\pmb{f}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k\) hvor \(n=k\). Men hvad nu hvis dimensionerne \(n\) og \(k\) ikke matcher?

Spørgsmål a

Betragt en skalar funktion af to variable, f.eks. \(f(x,y) = x y^2\). Hvis vi ønsker en “hovedsætning” i stil med \(F(b) - F(a)\), skal \(F\) være en skalar funktion (hvorfor?). Men hvis \(F\) er en skalar funktion, er dens afledte gradienten \(\nabla F\), som er en vektor.

Diskuter hvorfor \(F\) “skal” være en skalar funktion, og forklar, hvorfor ligningen \(\nabla F = f\) er matematisk umulig. Hvorfor kan vi ikke tale om en “stamfunktion” til en almindelig skalar funktion \(f(x,y)\) på samme måde som i 1D?

Spørgsmål b

Kurveintegralet af et vektorfelt \(\pmb{V}\) beregnes som \(\int_{\mathcal{C}} \pmb{V} \cdot d\pmb{s}\). Antag, at vi har en funktion \(\pmb{f} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) (output er en 2D-vektor, men input er 3D).

Kan man tale om det tangentielle kurveintegral af denne funktion langs en kurve i rummet?

Hint

Tænk på dimensionen af tangentvektoren \(\pmb{r}'(u)\) og prikproduktet i definitionen.

Spørgsmål c

For at Lemma 7.4.1 i bogen skal give mening:

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{C}} \pmb{V} \cdot d\pmb{s} = f(\pmb{r}(b)) - f(\pmb{r}(a)) \end{equation*}\]

skal visse betingelser være opfyldt for dimensionerne af \(\pmb{V}\) og \(f\).

Argumentér for, at hvis vi befinder os i \(\mathbb{R}^n\), så skal potentialet \(f\) være en skalar funktion, og vektorfeltet \(\pmb{V}\) skal have dimension \(n=k\) (output i \(\mathbb{R}^n\)). Hvorfor er tilfældet \(n=k\) (hvor vektorfeltet mapper fra \(\mathbb{R}^n\) til \(\mathbb{R}^n\)) det eneste, hvor begrebet om stamfunktioner og kurveintegraler “går op”?

9: Vektorfelt over en cirkelskive

Lad \(U = \{ (x,y) \mid \frac{1}{4} < x^2 + y^2 < 1 \}\) være givet. Betragt vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{V}: U \to \mathbb{R}^2, \quad \pmb{V}(x,y)= \frac{1}{x^2+y^2} \begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Er domænet \(U\):

1. åbent?

2. begrænset?

3. kurve-sammenhængende?

4. enkelt-sammenhængende?

5. stjerne-formet?

Afgør i hver af de fem tilfælde om svaret er ja eller nej.

Svar

1. Ja,

2. Ja,

3. Ja,

4. Nej,

5. Nej,

Spørgsmål b

Afgør om \(\pmb{V}\) er \(C^0\) og \(C^1\). Find Jacobi-matricen for \(\pmb{V}\) og afgør om den er symmetrisk.

Svar

Ja og ja. Vektorfeltet er endda \(C^\infty\) på \(U\). Jacobi-matricen er symmetrisk, da begge led der ikke er i diagonalen kan skrives som \(-(x - y)(x + y)/(x^2 + y^2)^2\) (brug evt factor() på leddene).

Spørgsmål c

Find gradienten af arkustangens-funktionen \(f(x,y) = \mathrm{atan2}(y,x)\). Funktionen er givet i SymPy ved f = atan2(y,x) og er en variant af \(\arctan(y/x)\).

Spørgsmål d

Plot funktionen \(f\) på \(U\). Er \(f(x,y)\) en stamfunktion til \(\pmb{V}\)?

Svar

Nej. \(\pmb{V}\)’s Jacobi-matrix er godt nok symmetrisk, men domænet er ikke stjerneformet, og det kan skabe problemer for eksistensen af stamfunktioner selv for vektorfelter med en symmetrisk Jacobi-matrix. Problemet med den valgte funktion \(f\) er en rimelig definition langs \(x=0\), når \(y\) skifter fortegn. Stamfunktioner er differentiable, og derfor kontinuerte, men funktionen \(f\) er ikke kontinuert (og derfor ikke differentiabel) for \(x=0\), når \(y\) krydser \(x\)-aksen.

10: En meget lang kurve

Den lineære spiral kurve \(\mathcal{C}\) i \(\mathbb{R}^2\) er parametriseret ved \(\pmb{r}: [0,1] \to \mathbb{R}^2\) hvor

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u) = \begin{cases} (0,0) & \text{for } u = 0 \\ (u \cos(1/u), u \sin(1/u)) & \text{for } u \in ]0,1] \end{cases} \end{equation*}\]

Bemærk at domænet for \(\pmb{r}\) er begrænset og lukket (ganske som vi plejer at have det). Det kan yderligere vises at kurven er kontinuert, altså \(C^0\), men ikke \(C^1\). I bogen i kapitel 7 kræver vi at kurverne er \(C^1\), da der kan ske uventede ting når kurverne ikke er \(C^1\). Det vil vi illustrere i denne opgave.

Spørgsmål a

Plot kurven. Vis (gerne ved hjælp af Python) at normen af tangent-vektoren er

\[\begin{equation*} \Vert \pmb{r}'(u) \Vert = \sqrt{1 + u^{-2}} \end{equation*}\]

for \(u \in ]0,1]\).

Spørgsmål b

Lad \(\epsilon < 1\). Udregn længden \(\ell_\epsilon\) af kurven \(\pmb{r}(u)\) for \(u \in [\epsilon,1]\). Find \(\lim_{\epsilon \to 0} \ell_\epsilon\). Hvad er længden \(\ell_0\) af kurven \(\mathcal{C}\)?

11: Flow-kurver for et vektorfelt

Et lineært vektorfelt \(\pmb V\) i \((x,y)\)-planen er givet ved

\[\begin{equation*} \pmb V(x,y)=\left(\frac 18x +\frac 38y,\frac 38x +\frac 18y\right). \end{equation*}\]

Vi forestiller os at vi til tiden \(t=0\) smider en partikel ned i et kraftfelt i punktet \((x_0,y_0)\), og vi ønsker at modellere partiklens bane (kurve) \(\pmb{r}(t)\) som funktion af tiden. Disse kurver kaldes for integral-kurver (og undertiden for flow-kurver). De er løsninger til differentialligningssystemet:

\[\begin{equation*} \pmb{r}'(t) = \pmb V(\pmb{r}(t)), \quad \pmb{r}(0) = \pmb{x}_0 \end{equation*}\]

hvor \(\pmb{x}_0\) er begyndelsespunktet.

Ugens Python-demoer kan være en hjælp til denne opgave.

Spørgsmål a

Bestem differentialligningssystemets systemmatrix og find (gerne med Sympy’s eigenvects()) matricens egenværdier med tilhørende egenvektorer.

Hint

Vektorfeltet skrives på matrixform \(\displaystyle{\pmb{V}= A \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}}\) hvor \(A\) er systemmatricen.

Spørgsmål b

Integral-kurven \(\pmb{r}_1(u)\) er bestemt ved at den går gennem punktet \((0,-1)\) til tiden \(u=0,\) og integral-kurven \(\pmb{r}_2(u)\) ved at den går gennem \((0,\frac 12)\) til tiden \(u=0\). Find ved hjælp af resultaterne fra spørgsmål a) og de angivne begyndelsesbetingelser en parameterfremstilling for \(\pmb{r}_1(u)\) og \(\pmb{r}_2(u)\).

Svar

\(\displaystyle{\pmb{r}_1(u)=\begin{bmatrix}1/2\exp(-1/4u)-1/2\exp(1/2u)\newline -1/2\exp(-1/4u)-1/2\exp(1/2u)\end{bmatrix}}\).

\(\displaystyle{\pmb{r}_2(u)=\begin{bmatrix}1/4\exp(1/2u)-1/4\exp(-1/4u)\newline 1/4\exp(1/2u)+1/4\exp(-1/4u)\end{bmatrix}}\).

Spørgsmål c

Lav en Python-illustration der både indeholder vektorfeltet og de to integral-kurver.