Uge 6: Afrunding

Uge 6: Afrunding#

Arbejd videre med opgaverne fra forberedelsen og øvelserne, som du endnu ikke har løst.

Nøglebegreber#

  • billedemængden af en kontinuert funktion

  • ekstremum (minimum eller maksimum)

  • globalt ekstremum

  • lokalt ekstremum

  • stationære punkter og andre betingelser

  • ekstremumsbestemmelser

  • anden ordens test og Hesse-matricen

  • positive (semi-)definite matricer

Hvis der stadig er nogle af disse begreber, du er usikker på hvad dækker over, bør du genlæse ugens tekst eller genregne ugens øvelsesopgaver.

Ekstra opgaver#

Vi forventer ikke at du laver flere opgaver end øvelsesopgaverne fra ugens program.

1: Stationære punkter og ekstremumsværdier#

En funktion \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) er givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y)=xy(2-x-y)+1 \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Find samtlige stationære punkter for \(f\). Udregn funktionsværdien i alle stationære punkter.

Spørgsmål b. SymPy#

Plot funktionens niveaukurver og beskriv deres form. Du behøver ikke give en præcis matematisk beskrivelse af niveaukurverne.

Spørgsmål c#

Find en parameterfremstilling \(\pmb{r}(t)\), \(t \in \mathbb{R}\), for en ret linje gennem et af de stationære punkter. Plot grafen for den sammensatte funktion \(f \circ \pmb{r}\).

Hint

Den rette linje kan fx følge en af koordinatakserne. Lad \((x_0,y_0)\) være det stationære punkt. Så kan vi bruge \(\pmb{r}(t) = (x_0, t y_0)\).

Hint

Punkterne på grafen er af formen \((t,f(\pmb{r}(t)))\). Med parametriseringen fra forrige hint, vil det være relevant at plotte \(f(\pmb{r}(t))\) for \(t \in [0,2]\) eller et andet interval der indeholder \(t=1\) som svarer til punktet.

Spørgsmål d#

Gentag opgaven fra Spørgsmål c, hvor du vælger en anden ret linje gennem et af de stationære punkter.

Hint

Du kan fx vælge \(\pmb{r}(t) = (t x_0, t y_0)\). Hvilken linje svarer denne parametrisering til?

Hint

Den rette linje der går gennem både origo \((0,0)\) og punktet \((x_0,y_0)\).

Spørgsmål e#

Baseret på hvad du nu ved om funktionen, fx fra dine plots, lav et kvalificeret gæt på, om de fundne stationære punkter er maksimumspunkter, minimumspunkter eller ingen af delene. Kontroller at det stemmer overens med konklusionen fra “andenordenstesten” (ud fra Hesse-matricen) som vi lærte på LilleDag.

2: En funktion der ikke er differentiabel overalt#

Lad \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) være givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y)=-|x| ((y-1)^2+1) \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Find alle punkter hvor funktionen kan antage en ekstremumsværdi.

Hint

Det kan være en god ide at inspisere grafen af funktionen dtuplot.plot3d(-abs(x)*((y-1)**2+1),(x,-2,4),(y,-2,4))

Hint

Punkterne hvor funktionen kan antage en ekstremumsværdi er:

  1. randpunkter til \(\operatorname{dom}(f)\) (som samtidigt tilhører \(\operatorname{dom}(f)\))

  2. undtagelsespunkter, hvor funktionen ikke er differentiabel.

  3. stationære punkter,

Hint

Funktionen er ikke differentiabel langs linjen \(x=0\) af samme grund som \(x \mapsto |x|\) ikke er differentiabel i \(x=0\). .

Svar

Funktionen er differentiabel på \((\mathbb{R}\setminus \{0\}) \times \mathbb{R}\) og har ingen stationære punkter. Funktionen kan derfor kun antage ekstremumsværdi i undtagelsespunkter, hvor funktionen ikke er differentiabel. Dette er langs linjen \(\{(0,y)| y \in \mathbb{R}\}\), som alle er ekstremumspunkter for funktionen.

Spørgsmål b#

Find den globale maksimums- og minimumsværdi for funktionen.

Hint

Begge led \(|x|\) og \(((y-1)^2+1)\) er ikke-negative.

Svar

Af hintet ses at \(f(x,y)\le 0\) for alle \((x,y)\). Samtidig ses at \(f(x,1) = -|x|\) som antager alle værdier i \(]-\infty,0]\). Der er altså ingen minimumsværdi. Langs linjen \(\{(0,y)| y \in \mathbb{R}\}\), antager funktionen værdien \(0\). Dette er altså maksimumsværdien. Værdimængden er \(\operatorname{im}(f)=]-\infty,0]\).

Contents