Eksamen Maj 2024

Eksamen Maj 2024#

Opgave 1#

Betragt den kvadratiske form $q: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ givet ved

\[\begin{equation*} q(\pmb{x}) = 5 x_{1}^{2} + 5 x_{2}^{2} + 8 x_{3}^{2} + 8 x_{1} x_{2} - 4 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3} - 22 x_{1} - 32 x_{2} - 20 x_{3} + 53, \end{equation*}\]

hvor $\pmb{x} = [x_1,x_2,x_3]^T \in \mathbb{R}^3$.

x1,x2,x3 = symbols("x_1 x_2 x_3")
xvec = Matrix([x1,x2,x3])
q = 5*x1**2 + 8*x1*x2 - 4*x1*x3 - 22*x1 + 5*x2**2 + 4*x2*x3 - 32*x2 + 8*x3**2 - 20*x3 + 53

a#

Udregn gradienten $\nabla q(\pmb{x})$ for ethvert $\pmb{x} \in \mathbb{R}^3$.

b#

Udregn Hesse-matricen $\pmb{H}_q$. Hint: Hesse-matricen skal ikke afhænge af $\pmb{x}$.

c#

Find en ortonormal basis af egenvektorer for Hesse-matricen $\pmb{H}_q$.

d#

Vis at $(1,2,1)$ er et stationært punkt for $q$. Find alle stationære punkter for $q$.

e#

Angiv en retning fra det stationære punkt $(1,2,1)$ langs hvilken funktionen $q$ hverken vokser eller aftager (altså en retning hvor funktionen er konstant).

f#

Vi betragter nu gradientmetoden med læringsrate $\alpha = 0.02$ og startgæt $\pmb{x}_{0}$ givet ved:

\[\begin{equation*} \pmb{x}_{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Udregn $\pmb{x}_{10}$, hvor

\[\begin{equation*} \pmb{x}_{n+1} = \pmb{x}_{n} - \alpha \nabla q(\pmb{x}_{n}), \quad \text{$n = 0,1,2, \dots$}. \end{equation*}\]

Du bør angive $\pmb{x}_{10}$ som en vektor af decimaltal med et passende antal decimaler. Hvilket punkt konvergerer gradientmetoden mod? (du skal ikke give et bevis, blot gætte ud fra dine undersøgelser).

Opgave 2#

Betragt den kvadratiske form $q: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$ givet ved

\[\begin{equation*} q(\pmb{x}) = 2 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{4}, \end{equation*}\]

hvor $\pmb{x} = [x_1,x_2,x_3,x_4]^T \in \mathbb{R}^4$.

x1,x2,x3,x4 = symbols("x_1 x_2 x_3 x_4")
q =  2*x1*x3 + 4*x2*x4

a#

Angiv en \emph{symmetrisk} matrix $A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$, således at $q(\pmb{x}) = \pmb{x}^T A \pmb{x}$, hvor $\pmb{x}=[x_1,x_2,x_3,x_4]^T$.

b#

Find en ortogonal basisskifte-matrix $Q\in \mathbb{R}^{4 \times 4}$, der reducerer den kvadratiske form $q$ således, at $q$ i de nye koordinater ikke indeholder “blandede led” af formen $x_i x_j$ (hvor $i \neq j$). Angiv forskriften for $q$ i de nye koordinater.

Vi betragter nu $q$ som en funktion med definitionsmængde $\mathrm{dom}(q)=B$ givet ved:

\[\begin{equation*} B=\{ \pmb{x}\in \mathbb{R}^4 \mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\leq 1 \}. \end{equation*}\]

c#

Gør rede for at $q: B \to \mathbb{R}$ har en minimums- og maksimumsværdi.

d#

Bestem minimumsværdien og maksimumsværdien af $q: B \to \mathbb{R}$.

Opgave 3#

Lad funktionen $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ være givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{y^2 \cos(x)}{x^2 + y^2} & \text{for } (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{( 0,0)\}, \\ 0 & \text{for } (x,y) = (0,0). \end{cases} \end{equation*}\]

x,y = symbols("x y", real=True)
f = y**2 * cos(x) / (x**2 + y**2)

a#

Plot grafen for funktionen $f$.

b#

Beregn de to førsteordens partielle afledede af $f$ for $(x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$.

c#

Find andengrads Taylor-polynomiet $P_2(x)$ for $\cos(x)$ med udviklingspunkt $x_0 = 0$.

d#

Vis at

\[\begin{equation*} \lim_{x \to 0} f(x,x) = \frac{1}{2}. \end{equation*}\]

Hint: Brug c og Taylors grænseformel.

e#

Bestem grænsen

\[\begin{equation*} \lim_{x \to 0} f(x,2x). \end{equation*}\]

f#

Argumenter for, at $f$ er differentiabel på $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$, men ikke i punktet $(0,0)$.

Opgave 4#

Betragt vektorfeltet $\pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ givet ved

\[\begin{equation*} \pmb{V}(x,y,z) = (-x, x y^2, x+z) \end{equation*}\]

og kurven $\mathcal{K}_1$ givet ved parameterfremstillingen:

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u) = (u, u^2, u+1), \quad u \in [0,2]. \end{equation*}\]

Altså er $\mathcal{K}_1 = \mathrm{im}(\pmb{r})$.

x, y, z, u, t = symbols("x y z u t", real=True)
V = Matrix([-x, x*y**2, x+z])
r = Matrix([u, u**2, u +1])

a#

Udregn tangentvektoren $\pmb{r}'(u)$ og argumenter for at parametriseringen er regulær.

b#

Udregn $\langle \pmb{V}(\pmb{r}(u)), \pmb{r}'(u) \rangle$ for ethvert $u \in [0,2]$ og udregn det tangentielle kurveintegral $\int_{\mathcal{K}_1} \pmb{V} \cdot \,\mathrm{d} \pmb{s}$.

c#

Angiv en parametrisering $\pmb{p}:[0,1] \to \mathbb{R}^3$ af den rette linje fra $(0,0,1)$ til $(2,4,3)$. Vi benævner linjestykket $\mathcal{K}_2=\mathrm{im}(\pmb{p})$. Udregn det tangentielle kurveintegral $\int_{\mathcal{K}_2} \pmb{V} \cdot \,\mathrm{d} \pmb{s}$.

d#

Afgør om $\pmb{V}$ er et gradientfelt.

Opgave 5#

Betragt funktionen $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ givet ved

\[\begin{equation*} f(x_1,x_2) = x_1^2 +x_2^2 + x_1 +1 \end{equation*}\]

samt mængden $A \subset \mathbb{R}^2$ givet ved:

\[\begin{equation*} A = \{(x_1 ,x_2 )\in \mathbb{R}^2 \mid -2\leq x_1 \leq 2 \, \wedge \, -1\leq x_2 \leq 1 \}. \end{equation*}\]

x1, x2, r, theta, a = symbols("x_1 x_2 r theta a", real=True)
f = x1**2 + x2**2 + x1 + 1

a#

Beregn integralet $\int_{A} f(x_1,x_2) \,\mathrm{d} (x_1,x_2)$.

b#

Bestem rumfanget af mængden

\[\begin{equation*} \{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3 \mid (x_1,x_2) \in A \wedge 0\leq x_3 \leq f(x_1 ,x_2) \}. \end{equation*}\]

Lad $a > 0$. Lad $B \subset \mathbb{R}^2$ betegne cirkelskiven med centrum i origo og radius $a$:

\[\begin{equation*} B=\{(x_1 ,x_2 )\in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + x_2^2 \le a^2\}. \end{equation*}\]

c#

Angiv en parametrisering af cirkelskiven $B$ og find den tilhørende Jacobi-determinant. Hint: Polære koordinater.

d#

Bestem værdien af $a$ med 3 decimaler, således at

\[\begin{equation*} \int_{A} f(x_1,x_2) \,\mathrm{d} (x_1,x_2)=\int_{B} f(x_1,x_2) \,\mathrm{d} (x_1,x_2). \end{equation*}\]