from sympy import *
init_printing()
from dtumathtools import *
Eksamen Maj 2024#
Opgave 1#
Betragt den kvadratiske form \(q: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) givet ved
hvor \(\pmb{x} = [x_1,x_2,x_3]^T \in \mathbb{R}^3\).
x1,x2,x3 = symbols("x_1 x_2 x_3")
xvec = Matrix([x1,x2,x3])
q = 5*x1**2 + 8*x1*x2 - 4*x1*x3 - 22*x1 + 5*x2**2 + 4*x2*x3 - 32*x2 + 8*x3**2 - 20*x3 + 53
a#
Udregn gradienten \(\nabla q(\pmb{x})\) for ethvert \(\pmb{x} \in \mathbb{R}^3\).
b#
Udregn Hesse-matricen \(\pmb{H}_q\). Hint: Hesse-matricen skal ikke afhænge af \(\pmb{x}\).
c#
Find en ortonormal basis af egenvektorer for Hesse-matricen \(\pmb{H}_q\).
d#
Vis at \((1,2,1)\) er et stationært punkt for \(q\). Find alle stationære punkter for \(q\).
e#
Angiv en retning fra det stationære punkt \((1,2,1)\) langs hvilken funktionen \(q\) hverken vokser eller aftager (altså en retning hvor funktionen er konstant).
f#
Vi betragter nu gradientmetoden med læringsrate \(\alpha = 0.02\) og startgæt \(\pmb{x}_{0}\) givet ved:
Udregn \(\pmb{x}_{10}\), hvor
Du bør angive \(\pmb{x}_{10}\) som en vektor af decimaltal med et passende antal decimaler. Hvilket punkt konvergerer gradientmetoden mod? (du skal ikke give et bevis, blot gætte ud fra dine undersøgelser).
Opgave 2#
Betragt den kvadratiske form \(q: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\) givet ved
hvor \(\pmb{x} = [x_1,x_2,x_3,x_4]^T \in \mathbb{R}^4\).
x1,x2,x3,x4 = symbols("x_1 x_2 x_3 x_4")
q = 2*x1*x3 + 4*x2*x4
a#
Angiv en \emph{symmetrisk} matrix \(A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}\), således at \(q(\pmb{x}) = \pmb{x}^T A \pmb{x}\), hvor \(\pmb{x}=[x_1,x_2,x_3,x_4]^T\).
b#
Find en ortogonal basisskifte-matrix \(Q\in \mathbb{R}^{4 \times 4}\), der reducerer den kvadratiske form \(q\) således, at \(q\) i de nye koordinater ikke indeholder “blandede led” af formen \(x_i x_j\) (hvor \(i \neq j\)). Angiv forskriften for \(q\) i de nye koordinater.
Vi betragter nu \(q\) som en funktion med definitionsmængde \(\mathrm{dom}(q)=B\) givet ved:
c#
Gør rede for at \(q: B \to \mathbb{R}\) har en minimums- og maksimumsværdi.
d#
Bestem minimumsværdien og maksimumsværdien af \(q: B \to \mathbb{R}\).
Opgave 3#
Lad funktionen \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) være givet ved
x,y = symbols("x y", real=True)
f = y**2 * cos(x) / (x**2 + y**2)
a#
Plot grafen for funktionen \(f\).
b#
Beregn de to førsteordens partielle afledede af \(f\) for \((x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\).
c#
Find andengrads Taylor-polynomiet \(P_2(x)\) for \(\cos(x)\) med udviklingspunkt \(x_0 = 0\).
d#
Vis at
Hint: Brug c og Taylors grænseformel.
e#
Bestem grænsen
f#
Argumenter for, at \(f\) er differentiabel på \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), men ikke i punktet \((0,0)\).
Opgave 4#
Betragt vektorfeltet \(\pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) givet ved
og kurven \(\mathcal{K}_1\) givet ved parameterfremstillingen:
Altså er \(\mathcal{K}_1 = \mathrm{im}(\pmb{r})\).
x, y, z, u, t = symbols("x y z u t", real=True)
V = Matrix([-x, x*y**2, x+z])
r = Matrix([u, u**2, u +1])
a#
Udregn tangentvektoren \(\pmb{r}'(u)\) og argumenter for at parametriseringen er regulær.
b#
Udregn \(\langle \pmb{V}(\pmb{r}(u)), \pmb{r}'(u) \rangle\) for ethvert \(u \in [0,2]\) og udregn det tangentielle kurveintegral \(\int_{\mathcal{K}_1} \pmb{V} \cdot \,\mathrm{d} \pmb{s}\).
c#
Angiv en parametrisering \(\pmb{p}:[0,1] \to \mathbb{R}^3\) af den rette linje fra \((0,0,1)\) til \((2,4,3)\). Vi benævner linjestykket \(\mathcal{K}_2=\mathrm{im}(\pmb{p})\). Udregn det tangentielle kurveintegral \(\int_{\mathcal{K}_2} \pmb{V} \cdot \,\mathrm{d} \pmb{s}\).
d#
Afgør om \(\pmb{V}\) er et gradientfelt.
Opgave 5#
Betragt funktionen \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) givet ved
samt mængden \(A \subset \mathbb{R}^2\) givet ved:
x1, x2, r, theta, a = symbols("x_1 x_2 r theta a", real=True)
f = x1**2 + x2**2 + x1 + 1
a#
Beregn integralet \(\int_{A} f(x_1,x_2) \,\mathrm{d} (x_1,x_2)\).
b#
Bestem rumfanget af mængden
Lad \(a > 0\). Lad \(B \subset \mathbb{R}^2\) betegne cirkelskiven med centrum i origo og radius \(a\):
c#
Angiv en parametrisering af cirkelskiven \(B\) og find den tilhørende Jacobi-determinant. Hint: Polære koordinater.
d#
Bestem værdien af \(a\) med 3 decimaler, således at