Uge 3: Indre produkt-rum#

Nøglebegreber#

  • Vektorrum med indre produkt og norm

  • \(\mathbb{R}^n\) og \(\mathbb{C}^n\)

  • Projektioner på linjen

  • Ortonormal baser

  • Gram-Schmidt proceduren

  • Ortogonale og unitære matricer

Forberedelse og pensum#


Opgaver – Store Dag#

1: Ortonormal basis (koordinater). Håndregning.#

Spørgsmål a#

Udgør vektorerne

\[\begin{equation*} \pmb{u}_1=\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right), \quad \pmb{u}_2=\left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right),\quad \pmb{u}_3=\left( \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \end{equation*}\]

en ortonormal basis i \(\mathbb{R}^3\)?

Spørgsmål b#

Betragt vektoren \(\pmb{x} = [1,2,3]^T\). Udregn de indre produkter \(\langle \pmb{x}, \pmb{u}_k \rangle\) for \(k=1,2,3\).

Spørgsmål c#

Lad os kalde basen \(\beta = \pmb{u}_1, \pmb{u}_2, \pmb{u}_3\). Angiv koordinatvektoren \({}_{\beta} \pmb{x}\) for \(\pmb{x}\) med hensyn til \(\beta\). Udregn normen af både \(\pmb{x}\) og koordinatvektoren \({}_{\beta} \pmb{x}\).

Spørgsmål d#

Dan \(3\times 3\)-matricen \(U = [\pmb{u}_1 \vert \pmb{u}_2 \vert \pmb{u}_3]\) med \(\pmb{u}_1, \pmb{u}_2, \pmb{u}_3\) som de tre søjler. Udregn \(U^T \pmb{x}\) og sammenlign resultatet med forrige opgave.

2: Ortonormal basis (konstruktion). Håndregning.#

Opstil en ortonormal basis i \(\mathbb{R}^3\), hvori

\[\begin{equation*} \left(\frac {\sqrt 2}2,\frac {\sqrt 2}2,0\right) \end{equation*}\]

er den første basisvektor.

3: Ortonormalisering. Håndregning.#

Bestem løsningsmængden for den homogene ligning

\[\begin{equation*} x_1+x_2+x_3=0 \end{equation*}\]

og gør rede for at den er et underrum i \(\mathbb{R}^3\). Find en ortonormal basis for dette løsningsrum.

4: Ortogonale projektioner#

Lad \(\boldsymbol{y}=(2,1,2) \in \mathbb{R}^3\) være givet. Da er projektionen af \(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^3\) på linjen \(Y = \mathrm{span}\{\boldsymbol{y}\}\) givet ved:

\[\begin{equation*} \operatorname{Proj}_Y(\boldsymbol{x}) = \frac{\left<\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \right>}{\left<\boldsymbol{y},\boldsymbol{y} \right>}\boldsymbol{y} = \left<\boldsymbol{x},\boldsymbol{u}\right>\boldsymbol{u}, \end{equation*}\]

hvor \(\boldsymbol{u} = \frac{\boldsymbol{y}}{||\boldsymbol{y}||}\).

Spørgsmål a#

Lad \(\boldsymbol{x} = (1,2,3) \in \mathbb{R}^3\). Udregn \(\operatorname{Proj}_Y(\boldsymbol{x})\), \(\operatorname{Proj}_Y(\boldsymbol{y})\) og \(\operatorname{Proj}_Y(\boldsymbol{u})\).

Spørgsmål b#

Vi opfatter som sædvanlig alle vektorer som søjlevektorer. Find nu \(3 \times 3\)-matricen \(P = \pmb{u} \pmb{u}^T\) og udregn både \(P\boldsymbol{x}\) og \(P\boldsymbol{y}\).

5: En ortonormal basis for et underrum af \(\mathbb{C}^4\)#

Spørgsmål a#

Find en orthonormal basis \(\pmb{u}_1, \pmb{u}_2\) for underrummet \(Y = \mathrm{span}\{\pmb{v}_1, \pmb{v}_2\}\) udspændt af vektorerne:

v1 = Matrix([I, 1, 1, 0])
v2 = Matrix([0, I, I, sqrt(2)])

Spørgsmål b#

Lad

\[\begin{equation*} \pmb{x} = \left[\begin{matrix}3 i\\3 - 2 i\\3 - 2 i\\-2\sqrt{2}\end{matrix}\right] \end{equation*}\]

Udregn \(\langle \pmb{x}, \pmb{u}_1 \rangle\), \(\langle \pmb{x}, \pmb{u}_2 \rangle\) samt

\[\begin{equation*} \langle \pmb{x}, \pmb{u}_1 \rangle \pmb{u}_1 + \langle \pmb{x}, \pmb{u}_2 \rangle \pmb{u}_2 \end{equation*}\]

Hvad giver denne linearkombination? Tilhører \(\pmb{x}\) underrummet \(Y\)?

6: En Python algoritme#

Spørgsmål a#

Betragt følgende kode og forklar hvad den gør. Inden du kører koden i en Jupyter notebook, skal du forklare hvad output bliver.

from sympy import *
from dtumathtools import *
init_printing()

x1, x2, x3 = symbols('x1:4', real=True)
eqns = [Eq(1*x1 + 2*x2 + 3*x3, 1), Eq(4*x1 + 5*x2 + 6*x3, 0), Eq(5*x1 + 7*x2 + 8*x3, -1)]
eqns
A, b = linear_eq_to_matrix(eqns,x1,x2,x3)
T = A.row_join(b)  # augmented matrix

A, b, T

Spørgsmål b#

Vi fortsætter Jupyter notebook’en med følgende kode (lad være med at køre den endnu). Ved hjælp at håndregning skal du gennemgå koden (løb for-loops’ne igennem). Hvilken \(T\) matrix kommer der ud? Copy-paste koden til en chatbot fx https://copilot.microsoft.com/ (login med din dtu.dk-konto) og spørg chatbotten om den kan forklare koden linje for linje. Tjek resultatet ved at køre koden i en Python notebook. Husk at T.shape[0] giver antallet af række i matricen \(T\).

for col in range(T.shape[0]):
    for row in range(col + 1, T.shape[0]):
        T[row, :] = T[row, :] - T[row, col] / T[col, col] * T[col, :]
    T[col, :] = T[col, :] / T[col, col]

T

Spørgsmål c#

Skriv Python-kode der sørger for nuller over diagonalen i matricen \(T\)\(T\) ender med at være på row reduced echelon form.

Note

Du skal ikke tage højde for eventuelle divisioner med nul (for generelle \(T\) matricer). Vi antager at udregningerne går godt.

Spørgsmål d#

Hvad er det for en algoritme vi har implementeret? Test samme algoritme på:

x1, x2, x3, x4 = symbols('x1:5', real=True)
eqns = [Eq(1*x1 + 2*x2 + 3*x3, 1), Eq(4*x1 + 5*x2 + 6*x3, 0), Eq(4*x1 + 5*x2 + 6*x3, 0), Eq(5*x1 + 7*x2 + 8*x3, -1)]
A, b = linear_eq_to_matrix(eqns,x1,x2,x3,x4)
T = A.row_join(b)  # augmented matrix

7: Ortogonale polynomier#

Dette er en opgave fra lærebogen. Du kan finde hjælp der.

Betragt listen \(\alpha=1,x,x^{2},x^{3}\) af polynomier i \(P_{3}([-1,1])\) udstyret med \(L^{2}\)-indre produkt.

Spørgsmål a#

Argumenter for at \(\alpha\) er en liste af lineært uafhængige vektorer.

Spørgsmål b#

Anvend Gram-Schmidt-proceduren på \(\alpha\) og vis at proceduren giver en normaliseret udgave af Legendre polynomierne.


Opgaver – Lille Dag#

1: Matrix-multiplikationer. Håndregning.#

Definer

\[\begin{equation*} A = \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4\\5 & 6 & 7 & 8\\4 & 4 & 4 & 4\end{matrix}\right], \quad \pmb{x} = \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\2\\-1\\1\end{matrix}\right]. \end{equation*}\]

Lad \(\pmb{a}_1, \pmb{a}_2,\pmb{a}_3,\pmb{a}_4\) angive søjlerne i \(A\). Lad \(\pmb{b}_1, \pmb{b}_2,\pmb{b}_3\) angive rækkerne i \(A\). Vi udregner nu \(A\pmb{x}\) på to forskellige måder

Spørgsmål a#

Metode 1: Som linearkombination af søjlerne. Udregn linearkombinationen

\[\begin{equation*} x_1 \pmb{a}_1 + x_2 \pmb{a}_2 + x_3 \pmb{a}_3 + x_4 \pmb{a}_4 \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Metode 2: Som “prikprodukt” af rækkerne i \(A\) med \(x\). Udregn

\[\begin{equation*} \left[\begin{matrix} \pmb{b}_1 \pmb{x} \\ \pmb{b}_2 \pmb{x} \\ \pmb{b}_3 \pmb{x} \end{matrix}\right] \end{equation*}\]

Note

Da \(\pmb{b}_k\) er en rækkevektor, er \((\pmb{b}_k)^T\) en søjlevektor. Produktet \(\pmb{b}_k \pmb{x}\) svarer derfor til prikproduktet af \(\pmb{x}\) og \((\pmb{b}_k)^T\).

Spørgsmål c#

Udregn \(A\pmb{x}\) i SymPy og sammenlign med dine udregninger i de forrige opgaver.

2: Et underrum i \(\mathbb{C}^4\) og dets ortogonale komplement#

Lad i \(\mathbb{C}^4\) være givet vektorerne

\[\begin{equation*} \pmb{v}_1=(1,1,1,1),\,\pmb{v}_2=(3 i ,i,i,3 i),\,\pmb{v}_3=(2,0,-2,4)\,\,\,\,\mathrm{og}\,\,\,\,\pmb{v}_4=(4-3i,2-i,-i,6-3i). \end{equation*}\]

Et underrum \(Y\) i \(\mathbb{C}^4\) er bestemt ved \(Y=\mathrm{span}\lbrace\pmb{v}_1,\pmb{v}_2,\pmb{v}_3,\pmb{v}_4\rbrace\).

Spørgsmål a#

v1 = Matrix([1,1,1,1])
v2 = Matrix([3*I,I,I,3*I])
v3 = Matrix([2,0,-2,4])
v4 = Matrix([4-3*I,2-I,-I,6-3*I])

Kør kommandoen GramSchmidt([v1,v2,v3,v4], orthonormal=True) i Python. Hvad fortæller Python jer?

# GramSchmidt([v1, v2, v3, v4], orthonormal = True)   

Spørgsmål b#

Vis nu at \((\pmb{v}_1,\pmb{v}_2,\pmb{v}_3)\,\) er en basis for \(Y\), og find koordinatvektoren for \(\pmb{v}_4\,\) med hensyn til denne basis.

Spørgsmål c#

Angiv en ortonormal basis for \(Y\).

Spørgsmål d#

Find koordinatvektoren for \(\pmb{v}_4 \in Y\) med hensyn til ortonormal basen for \(Y\).

Spørgsmål e#

Bestem det ortogonale komplement \(Y^\perp\) i \(\mathbb{C}^4\) til \(Y\).

Spørgsmål f#

Vælg en vektor \(\pmb{y}\) i \(Y^\perp\) og vælg en vektor \(\pmb{x}\) i \(Y\). Udregn \(\Vert \pmb{x} \Vert\), \(\Vert \pmb{y} \Vert\) og \(\Vert \pmb{x} + \pmb{y} \Vert\). Tjek at \(\Vert \pmb{x} \Vert^2 +\Vert \pmb{y} \Vert^2 = \Vert \pmb{x} + \pmb{y} \Vert^2\).

3: Ortogonal projektion på et plan#

Lad matricen \(U = [\pmb{u}_1, \pmb{u}_2]\) være givet ved:

\[\begin{equation*} U = \left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\- \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right] \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Vis at \(\pmb{u}_1, \pmb{u}_2\) er en ortonormal basis for \(Y = \mathrm{span}\{\pmb{u}_1, \pmb{u}_2\}\).

Spørgsmål b#

Lad \(P = U U^* \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\). Dette vil give os en projektionsmatrix som beskriver den ortogonale projektion \(\pmb{x} \mapsto P \pmb{x}\), \(\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) på planen \(Y = \mathrm{span}\{\pmb{u}_1, \pmb{u}_2\}\). Verificer at \(P^2 = P\), \(P \pmb{u}_1 = \pmb{u}_1\), og \(P \pmb{u}_2 = \pmb{u}_2\).

Spørgsmål c#

Vælg en vektor \(\pmb{x} \in \mathbb{R}^3\), der ikke tilhører \(Y\) og find projektionen \(\mathrm{proj}_Y(\pmb{x})\) af \(\pmb{x}\) ned på planen \(Y\). Illustrer \(\pmb{x}\), \(Y\) og \(\mathrm{proj}_Y(\pmb{x})\) i et plot.

Spørgsmål d#

Vis at \(\pmb{x} - \mathrm{proj}_Y(\pmb{x})\) tilhører \(Y^\perp\).

4: Unitære matricer#

Lad matricen \(F\) være givet ved:

n = 4
F = 1/sqrt(n) * Matrix(n, n, lambda k,j: exp(-2*pi*I*k*j/n))
F
\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & \frac{i}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{i}{2}\end{matrix}\right]\end{split}\]

Afgør om følgende udsagn er sande eller falske:

  1. \(F\) er unitær

  2. \(F\) er invertible

  3. \(F\) er ortogonal

  4. \(F\) er symmetrisk

  5. \(F\) er hermitisk

  6. \(F\)’s søjler er en orthonormal basis for \(\mathbb{C}^4\)

  7. \(F\)’s søjler er en orthonormal basis for \(\mathbb{R}^4\)

  8. \(-F = F^{-1}\)