Uge 9: Integration af vektorfelter

Uge 9: Integration af vektorfelter#

Nøglebegreber#

  • Parameterfremstillinger for kurver og flader i \(\mathbb{R}^n\)

  • Kurvelængde

  • Fladens normal

  • Kurve- og fladeintegralet

  • Stamfunktionsproblemet i \(\mathbb{R}^n\)

  • Vektorfelter og gradientfelter

  • Flux

Forberedelse og pensum#

  • Læsepensum: Afsnit 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 og 7.5 i Kapitel 7

Kurveintegralet af et vektorfelt langs en kurve kaldes på DTU (men ikke mange andre steder) ofte for det tangentielle kurveintegral. I engelsk-litteratur hedder integralet the line integral of the vector field.

Med jacobianten mener vi jacobi-funktionen \(\sqrt{\det(\pmb{J}^T \pmb{J})}\) (dvs forvrængnings-faktoren, altså den areal/volumen-korrigerende faktor), der også kaldes den geometriske tensor. Jacobi-matricen og Jacobi-determinanten skrives fuldt ud i opgaverne. Både på dansk og engelsk bruges ordet “jacobianten/jacobian” om alle tre begreber, og man bør derfor være påpasselig med at bruge ordet “jacobianten/jacobian”. Oftest bruges “jacobian” dog om forvrængning-faktoren, og vi bruger denne tradition.

Opgaver (samlet for store og lille dag)#

1: Kurveintegral af en skalar funktion. Håndregning.#

I \((x,y,z)\)-rummet betragtes cirklen \(\mathcal{C}\) givet ved

\[\begin{equation*} \mathcal{C}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x^2+(y-1)^2=4 \wedge z=1\right\}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Angiv centrum og radius for \(\mathcal{C}\). Vælg en parameterfremstilling \(\pmb r(u)\) for \(\mathcal{C}\) svarende til ét gennemløb af cirklen. Bestem den til parameterfremstillingen svarende Jacobiant.

Svar

Centrum i \((0,1,1)\). For eksempel \(\pmb r(u)=(2\cos(u),2\sin(u)+1,1)\) hvor \(u \in [0,2\pi[\). Jacobianten er \(\Vert \pmb r'(u) \Vert =2\).

Spørgsmål b#

Givet funktionen \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\). Bestem restriktionen \(f(\pmb r(u))\) og bestem kurveintegralet

\[\begin{equation*} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\mathrm{d}s \end{equation*}\]

Svar

Restriktionen til kurven er \(f(\pmb r(u))=6+4\sin(u)\). Kurveintegralet af \(f\) langs \(\mathcal{C}\)

\[\begin{equation*} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\mathrm{d}s = 24 \pi \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

I bogen nævnes det at kurveintegralet er uafhængigt af den valgte parameterfremstilling for cirklen. Afprøv andre parameterfremstillinger, fx via re-parametriseringer (som \(t=-2\pi u\)), og udregn kurveintegralet baseret på dem. Du kan fx ændre omløbsretningen eller gennemløbshastigheden.

Spørgsmål d#

Er kurveintegralet afhængigt af cirklens beliggenhed? Prøv fx at parallelforskyde cirklen \(1\) i \(y\)-aksens retning, og udregn kurveintegralet på ny.

Svar

Kurveintegralet er selvfølgelig afhængigt af cirklens beliggenhed. Det må man forvente når funktionen \(f\) ikke er konstant.

2: Længden af et hængende kabel.#

Vi betragter et ikke-elastisk, frithægende kabel ophængt mellem to master, der kun er påvirket af tyngdekraften (og trækkraften i kablet). Den matematisk form vi bruger er en kædelinje (også kaldet en katenær-kurve). Ligningen er

\[\begin{equation*} y = a \cosh (x/a) \end{equation*}\]

hvor \(a\) er afstanden til det laveste punkt over \(x\)-aksen. Vi antager kablet er fasthængt i \(y=5\) (dvs. \(y \in [a,5]\)).

Spørgsmål a#

Antag \(0 < a \le 5\). Angiv en parametrisering for kurven

\[\begin{equation*} \mathcal{C}_a = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = a \cosh (x/a) \, \wedge \, y \le 5\}. \end{equation*}\]

Specielt skal parameterintervallet angives (brug gerne SymPy’s solve). Dernæst skal normen af tangent-vektoren (dvs jacobianten) udregnes.

Spørgsmål b#

Plot kurven for \(a=0.5, a=1, a=2\). Opskriv integralformlen for længden af kurven \(\mathcal{C}_a\). Find en decimaltals approksimation af længden af kurverne \(\mathcal{C}_{0.5}\), \(\mathcal{C}_1\) og \(\mathcal{C}_2\).

3: Kurveintegral af vektorfelt I. Håndregning#

I \((x,y)\)-planen er der givet et vektorfelt

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad \pmb{V}(x,y)=(x^2-2xy,y^2-2xy) \end{equation*}\]

samt en kurve \(\mathcal{C}\) givet ved ligningen

\[\begin{equation*} y=x^2, \quad x\in\left[ -1,1\right]. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Bestem en parametrisering af \(\mathcal{C}\). Udregn Jacobianten og tjek at din parametrisering er regulær.

Spørgsmål b#

Bestem nu det tangentielle kurveintegral

\[\begin{equation*} \int_\mathcal{C}\pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s}. \end{equation*}\]

4: Kurveintegral af vektorfelt II. Håndregning#

I \((x,y,z)\)-rummet er der givet et vektorfelt

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)=(y^2-z^2,2yz,-x^2) \end{equation*}\]

samt en kurve \(\mathcal{C}\) med parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u)=(u,u^2,u^3), \quad u\in\left[ 0,1\right] . \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Argumenter for at \(\pmb{r}\) er en regulær \(C^1\) parameterfremstilling.

Spørgsmål b#

Bestem det tangentielle kurveintegral

\[\begin{equation*} \int_\mathcal{C}\pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s}. \end{equation*}\]

5: Integration af vektorfelt langs trappelinje#

I planen betragtes et vilkårligt punkt \(\pmb{x}=(x_1,x_2)\) og vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad \pmb{V}(x_1,x_2)=(x_1x_2,x_1). \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Bestem det tangentielle kurveintegral af \(\pmb{V}\) langs den rette linje \(\mathcal{C}\) fra \(\pmb{x}_0=\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\).

Svar

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{C}} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{s} = \frac{1}{3}x_1^2x_2+\frac{1}{2} x_2 x_1 \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Ved trappelinjen fra \(\pmb{x}_0=\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\) forstås den stykkevis rette linje der går fra \((0,0)\) til punktet \((x_1,0)\) og derefter fra \((x_1,0)\) til \((x_1,x_2)\)

På et stykke papir med \((x_1,x_2)\)-koordinatsystem: Skitsér trappelinjen for forskellige valg af \(\pmb{x}\). Bestem derefter det tangentielle kurveintegral af \(\pmb{V}\) langs trappelinjen \(\mathcal{T}\) fra \(\pmb{x}_0=\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\).

Hint

Om trappemetoden: Se ugens Python-demoer.

Hint

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{T}} \pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s} = \int_0^{x_1} V_1(u,0)\mathrm{d} u+\int_0^{x_2} V_2(x_1,u)\mathrm{d} u. \end{equation*}\]

Svar

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{T}} \pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s} = x_1 x_2. \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

Afgør ud fra dine svar på spørgsmål a) og b) om \(\pmb{V}\) er et gradientvektorfelt.

Svar

Svaret er nej, fordi kurveintegralet ikke er uafhængigt af vejen.

Spørgsmål d#

Der er en lettere måde at afgøre om et vektorfelt er et gradientvektorfelt (i hvert fald når vektorfeltet er defineret på hele \(\mathbb{R}\)). Hvad er denne måde?

Hint

Udregn Jacobi-matrix for \(\pmb{V}\). Find de to lemmaer i bogen der er relevante.

Svar

For vektorfelter på et åbent og enkelt-sammenhængende domæne (som i denne opgave) er feltet et gradientfelt hvis og kun hvis Jacobi-matricen er symmetrisk.

6: Stamfunktionsproblemet i \(\mathbb{R}^3\)#

I rummet betragtes et vilkårligt punkt \(\pmb{x}=(x_1,x_2,x_3)\), vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x_1,x_2,x_3)=\begin{bmatrix} x_2\cos (x_1 x_2) \\ x_3+x_1 \cos (x_1x_2) \\ x_2 \end{bmatrix} \end{equation*}\]

og vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{W}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{W}(x_1,x_2,x_3)= \frac{1}{1+x_1^2x_2^2+2x_1 x_2x_3^2+x_3^4} \begin{bmatrix} x_2 \\ x_1 \\ 2x_3 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Udregn Jacobi-matricen for \(\pmb{V}\). Er \(\pmb{V}\) et gradientvektorfelt?

Spørgsmål b#

Angiv samtlige stamfunktioner for \(\pmb{V}\).

Hint

Bestem det tangentielle kurveintegral af \(\pmb{V}\) fx langs trappelinjen fra \(\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\).

Hint

Ved trappelinjen fra \(\pmb{0}\) til \(\pmb{x}\) forstås den stykkevis rette linje der går fra \((0,0,0)\) til punktet \((x_1,0,0),\) derefter fra \((x_1,0,0)\) til \((x_1,x_2,0)\) og til sidst fra \((x_1,x_2,0)\) til \((x_1,x_2,x_3)\).

Hint

Om trappemetoden: Se ugens Python-demoer.

Svar

Kurveintegralet er:

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{T}} \pmb{V}\cdot \mathrm{d} \pmb{s} = \sin(x_1x_2)+x_2x_3 \end{equation*}\]

og samtlige stamfunktioner er derfor

\[\begin{equation*} f(x_1,x_2,x_3)=\sin(x_1x_2)+x_2x_3+C, \quad C \in\mathbb{R}. \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

Bestem ved hjælp af Sympy det tangentielle kurveintegral af \(\pmb{W}\) langs en ret linje fra \(\pmb{0}\) til det vilkårligt punkt \(\pmb{x}\).

Spørgsmål d#

Undersøg om \(\pmb{W}\) er et gradientvektorfelt og angiv i bekræftende fald samtlige stamfunktioner.

Svar

Svaret er ja, hvilket fx ses ved at gøre prøve \(\nabla f = \pmb{V}\), og samtlige stamfunktioner er

\[\begin{equation*} f(x_1,x_2,x_3)=\arctan(x_1 x_2+x_3^2)+C,\quad C \in\mathbb{R}. \end{equation*}\]

7: Vektorfelt over en cirkelskive#

Lad \(U = \{ (x,y) \mid \frac{1}{4} < x^2 + y^2 < 1 \}\) være givet. Betragt vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{V}: U \to \mathbb{R}^2, \quad \pmb{V}(x,y)= \frac{1}{x^2+y^2} \begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Er domænet \(U\):

  1. åbent?

  2. begrænset?

  3. kurve-sammenhængende?

  4. enkelt-sammenhængende?

  5. stjerne-formet?

Afgør i hver af de fem tilfælde om svaret er ja eller nej.

Svar

  1. Ja,

  2. Ja,

  3. Ja,

  4. Nej,

  5. Nej,

Spørgsmål b#

Afgør om \(\pmb{V}\) er \(C^0\) og \(C^1\). Find Jacobi-matricen for \(\pmb{V}\) og afgør om den er symmetrisk.

Svar

Ja og ja. Vektorfeltet er endda \(C^\infty\) på \(U\). Jacobi-matricen er symmetrisk, da begge led der ikke er i diagonalen kan skrives som \(-(x - y)(x + y)/(x^2 + y^2)^2\) (brug evt factor()m på leddene).

Spørgsmål c#

Find gradienten af arkustangens-funktionen \(f(x,y) = \mathrm{atan2}(y,x)\). Funktioen er givet i SymPy ved f = atan2(y,x) og er en variant af \(\arctan(y/x)\).

Spørgsmål d#

Plot funktionen \(f\) på \(U\). Er \(f(x,y)\) en stamfunktion til \(\pmb{V}\)?

Svar

Nej. \(\pmb{V}\)’s Jacobi-matrix er godt nok symmetrisk, men domænet er ikke stjerneformet, og det kan skabe problemer for eksistensen af stamfunktioner selv for vektorfelter med en symmetrisk Jacobi-matrix. Problemet med den valgte funktion \(f\) er en rimelig definition langs \(x=0\), når \(y\) skifter fortegn. Stamfunktioner er differentiable, og derfor kontinuerte, men funktionen \(f\) er ikke kontinuert (og derfor ikke differentiabel) for \(x=0\), når \(y\) krydser \(x\)-aksen.

8: En meget lang kurve#

Den lineære spiral kurve \(\mathcal{C}\) i \(\mathbb{R}^2\) er parametriseret ved \(\pmb{r}: [0,1] \to \mathbb{R}^2\) hvor

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u) = \begin{cases} (0,0) & \text{for } u = 0 \\ (u \cos(1/u), u \sin(1/u)) & \text{for } u \in ]0,1] \end{cases} \end{equation*}\]

Bemærk at domænet for \(\pmb{r}\) er begrænset og lukket (ganske som vi plejer at have det). Det kan yderligere vises at kurven er kontinuert, altså \(C^0\), men ikke \(C^1\). I bogen i kapitel 7 kræver vi at kurverne er \(C^1\), da der kan ske uventede ting når kurverne ikke er \(C^1\). Det vil vi illustrere i denne opgave.

Spørgsmål a#

Plot kurven. Vis (gerne ved hjælp af Python) at normen af tangent-vektoren er

\[\begin{equation*} \Vert \pmb{r}'(u) \Vert = \sqrt{1 + u^{-2}} \end{equation*}\]

for \(u \in ]0,1]\).

Spørgsmål b#

Lad \(\epsilon < 1\). Udregn længden \(\ell_\epsilon\) af kurven \(\pmb{r}(u)\) for \(u \in [\epsilon,1]\). Find \(\lim_{\epsilon \to 0} \ell_\epsilon\). Hvad er længden \(\ell_0\) af kurven \(\mathcal{C}\)?

9: Overfladearealet at en kugle#

Vi betragter en kugle i \(\mathbb{R}^3\) med centrum i \((0,0,0)\) og radius \(a > 0\). Betragt kuglens rand (også kaldet sfæren)

\[\begin{equation*} \{ \pmb{x} \in \mathbb{R}^3 \mid \Vert \pmb{x} \Vert = a \} \end{equation*}\]

Overfladearealet af kuglen er (kendt fra skolen) \(4 \pi a^2\). Genfind dette udtryk ved hjælp af et fladeintegral og en parametrisering af sfæren.

10: Flux gennem parameterflader. Håndregning#

Givet et vektorfelt

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)=(\cos(x),\cos(x)+\cos(z),0) \end{equation*}\]

samt en flade \(\mathcal{F}\), som er givet ved parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v)=(u,0,v), \quad u\in\left[ 0,\pi\right] ,\quad v\in\left[ 0,2\right] . \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor \(\pmb{n}_{\mathcal{F}}(u,v)\). Argumenter for at parameterfremstilligen er regulær. Beregn dernæst vektorfeltets flux gennem fladen.

Svar

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{F}} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} = -\sin(2)\pi. \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Hvilken betydning har fluxens fortegn? Kan du skifte fortegnet for fluxen ved at ændre fladens parameterfremstilling?

Spørgsmål c#

Givet et vektorfelt

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)=(yz,-xz,x^2+y^2) \end{equation*}\]

samt en flade \(\mathcal{F}\), som er givet ved parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v)=(u\sin(v),-u\cos( v),uv), \quad u\in\left[ 0,1\right] ,\quad v\in\left[ 0,1\right] . \end{equation*}\]

Bestem den til parameterfremstillingen svarende normalvektor \(\pmb{n}_{\mathcal{F}}(u,v)\). Argumenter for at parameterfremstilligen er regulær. Beregn vektorfeltets flux gennem fladen.

Svar

\[\begin{equation*} \int_{\mathcal{F}} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} = \frac{3}{8}. \end{equation*}\]

11: Coulomb-vektorfeltet#

Coulomb (1736-1806) arbejdede med elektromagnetisme. Fra hans arbejde kendes det såkaldte Coulomb-vektorfelt:

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0)\} \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)= \left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac32} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Bemærk at Coulomb-vektorfeltet ikke kan defineres på hele \(\mathbb{R}^3\). Der gælder dog at definitionsmængden \(U = \mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0)\}\) er åben, som er standard-antagelsen for vetorfelter i bogen.

En massiv cylinder \(B\) af højde \(2h\) og diameter \(2a\), hvor \(a\) og \(h\) er positive reelle tal, er givet ved parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v,w)=\left(u\cos(w),u\sin(w),v\right), \quad u\in\left[0,a\right], \; v\in[-h,h], \; w\in \left[-\pi,\pi\right]. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Tegn en skitse af \(B\) (det er nemmest med papir og blyant) og bestem en parameterfremstilling for hver af de tre stykker som randen \(\partial B\) af \(B\) består af: Bunden, toppen og den rørformerede del.

Hint

Da der er tale om flader, bør hver parameterfremstilling have to parametre.

Spørgsmål b#

Bestem fluxen af \(\pmb{V}\) ud gennem \(\partial B\):

\[\begin{equation*} \int_{\partial B} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} \end{equation*}\]

ved at beregne fluxen gennem hver af de tre stykker som \(\partial B\) består af. Hvad betyder egentlig størrelsen af cylinderen for fluxens styrke? Og i forlængelse heraf: Hvad er grænseværdien af fluxens styrke for \(a\) og \(h\) gående mod 0?

Hint

Husk at tjekke retningen på dine normal-vektorer. De skal pege væk fra \(B\).

12: Flux via Divergens-sætningen#

Divergens-sætningen er ikke en del af pensum, men vi skal i denne opgave alligevel stifte bekendtskab med den:

Theorem (Divergence): Let \(\pmb{V}\) be a \(C^1\) vector field on an open set \(U\subseteq \mathbb{R}^3\), and let \(B \subseteq U\) be a bounded subset with a piecewise \(C^1\) boundary \(\mathcal{F}=\partial B\). Suppose \(\pmb{r}: \Gamma \to \mathbb{R}^3\), \(\Gamma \subset \mathbb{R}^2\), is a parametrization of the surface \(\mathcal{F}\) with outward-pointing normal. Then

(1)#\[\begin{equation} \int_{\partial B} \pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} =\int_{B}\mathrm{div} (\pmb{V}) \, \mathrm{d} X. \end{equation}\]

Divergensen \(\mathrm{div} (\pmb{V})\) er defineret som sporet af Jacobi-matricen:

(2)#\[\begin{equation} \mathrm{div} (\pmb{V}) = \mathrm{tr} (\pmb{J}_{\pmb{V}}) \end{equation}\]

Hvis vi tænker på vektorfeltet som hastighedsfeltet for en væske, så måler divergensen den infinitisimale udvidelse- eller sammentræknings-rate af væsken. Hastighedsfeltet af en inkompressibel væske har nul divergens.

Givet \(C^1\)-vektorfeltet

\[\begin{equation*} \pmb{V}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, \quad \pmb{V}(x,y,z)=(-8x,8,4z^3) \end{equation*}\]

og et rumligt område

\[\begin{equation*} \Omega=\lbrace (x,y,z)\,\vert\, x^2+y^2+z^2\leq a^2\,\, \mathrm{og}\,\, z\geq 0\rbrace\,,\,a>0, \end{equation*}\]

hvis overflade \(\,\partial \Omega\,\) er orienteret med udadrettet enhedsnormalvektorfelt \(\,\pmb n_{\,\partial \Omega}\,\).

Spørgsmål a#

Bestem rumintegralet

\[\begin{equation*} \int_{\Omega}\mathrm{div}(\pmb{V})\, \mathrm{d} X. \end{equation*}\]

Hint

\(\Omega\) kan parametriseres ved

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v,w)=(u\sin v \cos w,u\sin v\sin w,u\cos v), \end{equation*}\]
\[\begin{equation*} u\in\left[ 0,a\right] ,\, v\in\left[ 0,\frac{\pi}{2}\right] ,\, w\in\left[ -\pi,\pi\right]\,. \end{equation*}\]

Spørgsmål b#

Bestem fladeintegralet for vektorfeltet:

\[\begin{equation*} \int_{\partial\,\Omega}\,\pmb{V} \cdot \mathrm{d} \pmb{S} \end{equation*}\]

Hint

Bemærk, at overfladen af \(\Omega\) består at to dele: En halvkugleskal og en cirkulær bundflade.

Svar

Hvis Gauss har ret, fås samme facit i de to spørgsmål. Svaret er

\[\begin{equation*} 8a^3\pi\,(\frac 15 a^2 - \frac 23)\,. \end{equation*}\]

Spørgsmål c#

For hvilke \(\,a\,\) er fluxen med det angivne normalvektor positiv (dvs. “udstrømningen gennem \(\partial \Omega\) er større end indstrømningen”).

Svar

Fluxen er negativ for \(\,0<a<\frac{\sqrt{30}}{3}\,\), ellers positiv.

Spørgsmål d#

Gauss’ sætning om relationen mellem divergensintegralet og vektorfeltets fladeintegral kan ses som en generalisering af infinitisemalregningens hovedsætning:

\[\begin{equation*} \left[ F(x)\right] _a^b=\int_a^b F'(x)\mathrm{d}x\,? \end{equation*}\]

Svar

Divergensen kan betragtes som en passende erstatning af den afledede af en funktion \(F'(x)\). I begge tilfælde kan vi sige at vi har skubbet integrationen ‘’ud på randen’’: For et inteval \([a,b]\) er randen endepunkterne \(a\) og \(b\), mens for et rumintegral over et område er det områdets overflade.

13: Flow-kurver for et vektorfelt#

Et lineært vektorfelt \(\pmb V\) i \((x,y)\)-planen er givet ved

\[\begin{equation*} \pmb V(x,y)=\left(\frac 18x +\frac 38y,\frac 38x +\frac 18y\right). \end{equation*}\]

Vi forestiller os at vi til tiden \(t=0\) smider en partikel ned i et kraftfelt i punktet \((x_0,y_0)\), og vi ønsker at modellere partiklens bane (kurve) \(\pmb{r}(t)\) som funktion af tiden. Disse kurver kaldes for integral-kurver (og undertiden for flow-kurver). De er løsninger til differentialligningssystemet:

\[\begin{equation*} \pmb{r}'(t) = \pmb V(\pmb{r}(t)), \quad \pmb{r}(0) = \pmb{x}_0 \end{equation*}\]

hvor \(\pmb{x}_0\) er begyndelsespunktet.

Ugens Python-demoer kan være en hjælp til denne opgave.

Spørgsmål a#

Bestem differentialligningssystemets systemmatrix og find (gerne med Sympy’s eigenvects()) matricens egenværdier med tilhørende egenvektorer.

Hint

Vektorfeltet skrives på matrixform \(\displaystyle{\pmb{V}= A \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}}\) hvor \(\A\) er systemmatricen.

Spørgsmål b#

Integral-kurven \(\pmb{r}_1(u)\) er bestemt ved at den går gennem punktet \((0,-1)\) til tiden \(u=0,\) og integral-kurven \(\pmb{r}_2(u)\) ved at den går gennem \((0,\frac 12)\) til tiden \(u=0\). Find ved hjælp af resultaterne fra spørgsmål a) og de angivne begyndelsesbetingelser en parameterfremstilling for \(\pmb{r}_1(u)\) og \(\pmb{r}_2(u)\).

Svar

\(\displaystyle{\pmb{r}_1(u)=\begin{bmatrix}1/2\exp(-1/4u)-1/2\exp(1/2u)\newline -1/2\exp(-1/4u)-1/2\exp(1/2u)\end{bmatrix}}\).

\(\displaystyle{\pmb{r}_2(u)=\begin{bmatrix}1/4\exp(1/2u)-1/4\exp(-1/4u)\newline 1/4\exp(1/2u)+1/4\exp(-1/4u)\end{bmatrix}}\).

Spørgsmål c#

Lav en Python-illustration der både indeholder vektorfeltet og de to integral-kurver.

Contents