Hjemmeopgave 2

Læs reglerne her: Hjemmeopgaver

Husk alle svar skal begrundes. Et svar uden begrundelse giver nul point.

1. Det er en god ide at lave besvarelsen direkte som Jupyter Notebook. Du kan downloade ipynb-filen direkte på denne side. Her kan du se markdown-syntaksen og fx hvordan du skriver matematiske ligninger.

2. Opgavebesvarelsen skal afleveres som PDF-fil. Hvis I har problemer med at eksportere Jupyter Notebooken som PDF, så kontakt DTU Python Support.

Opgave 1

Betragt funktionen \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) med forskrift:

\[\begin{equation*} f(x)=\cos (3x) \end{equation*}\]

a) Bestem det approksimerende polynomium \(P_{4,f,x_0}\) af grad (højst) 4, og med udviklingspunkt \(x_0 = 0\).

b) Brug det fundende polynomium til at give en approksimativ værdi for \(\cos (\frac{1}{2} )\) og vurder hvor langt den fundende værdi ligger fra den eksakte.

Om en funktion \(g\) oplyses:

\[\begin{equation*} g(0)=1 \quad \text{og} \quad g^{(n)} (0)= \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}}2^n & n \text{ er lige}, \\ 0 & n \text{ er ulige}. \end{cases} \end{equation*}\]

c) Bestem det approksimerende polynomium \(P_{7,g,x_0}\) for \(g\) af grad (højst) 7, og med udviklingspunkt \(x_0 = 0\). Giv et bud på hvilken funktion \(g\) kunne være.

Opgave 2

Lad \(B\) være mængden \(B=\left\{ (x_1 , x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + x_2^2 \leq 1 \wedge x_1 \geq 0 \right\}\).

En funktion \(f:B \rightarrow \mathbb{R}\) er givet ved:

\[\begin{equation*} f(x_1 ,x_2 )=x_1^2 x_2^2 +3x_1 x_2 +x_2 -4. \end{equation*}\]

Angiv værdimængden for \(f\).

Opgave 3

En funktion \(f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) er givet ved:

\[\begin{equation*} f(x_1 ,x_2 )=x_1^2 - 2x_1 +3x_2^5 - 5x_2^3. \end{equation*}\]

a) Find samtlige stationære punkter for \(f\).

b) Angiv om der er tale om lokalt maksimum, minimum eller om der er saddelpunkt i de stationære punkter.

c) Plot for hvert stationært punkt funktionen sammen med det approksimerende polynomium \(P_{2}\) af grad (højst) 2.

Opgave 4

Givet funktionen \(f:[0,5] \rightarrow \mathbb{R}\) med forskrift \(f(x)=2x+3\).

a) Find ved hjælp af Python en værdi for Riemann-summen over intervallet \([0,5]\) med 30 del-intervaller hvor først del-intervallernes venstre interval-endepunkter benyttes, gentag for de højre interval-endepunkter.

b) Find eksakte værdier for Riemann-summen over intervallet \([0,5]\) med \(n\) del-intervaller hvor først del-intervallernes venstre interval-endepunkter benyttes, gentag for de højre interval-endepunkter.

c) Angiv et eksakt udtryk for den maksimale og minimale fejl, begge udtryk skal kun afhænge af \(n\). (Hvis Riemannsummen angiver en approksimativ værdi for Riemann integralet).

d) Argumenter, i dette specielle tilfælde, for at Riemann-summen har samme grænseværdi uanset valg af punkt i del-intervallet.