Uge 4: Spektralsætningen#

Nøglebegreber#

Forberedelse og pensum#


Opgaver – Store Dag#

1: Typer af matricer#

Betragt matricerne:

\[\begin{equation*} A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}, \quad C=\begin{bmatrix} 1 & 2+i & 3i \\ 2-i & 1 & 2 \\ -3i & 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad D=\begin{bmatrix} i & 2 & 3 \\ 2 & i & 2 \\ 3 & 2 & i \end{bmatrix} \end{equation*}\]

Afgør for hver matrix om den er symmetrisk, hermitisk, og/eller normal. Du må gerne bruge SymPy til at afgøre om matricerne er normale. For nemheds skyld er matricerne skrevet ind her:

A = Matrix.diag(1, 2, 3)
B = Matrix([[1, 2, 3], [3, 1, 2], [2, 3, 1]])
C = Matrix([[1, 2 + I, 3*I], [2 - I, 1, 2], [-3*I, 2, 1]]) 
D = Matrix([[I, 2, 3], [2, I, 2], [3, 2, I]])

2: Hermitisk 2-gange-2 matrix. Håndregning#

Vi betragter den hermitiske matrix \(A\) givet ved:

\[\begin{equation*} A=\begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{bmatrix} \end{equation*}\]

Denne opgave går ud på at udregne en spektral dekomposition af \(A\), som vi ved fra Spectral Theorem (the complex case) eksisterer. Vi finder denne dekomposition af \(A\) i tre skridt:

Spørgsmål a#

Find alle egenværdier og tilhørende egenvektorer af \(A\). Kontroller svaret med SymPy A.eigenvects().

Spørgsmål b#

Bestem en ortonormal basis bestående af egenvektorer af \(A\).

Spørgsmål c#

Dette resultat gælder for generelle \(n \times n\) matricer. Vis at \(A = U \Lambda U^*\) hvis og kun hvis \(\Lambda = U^* A U\), når \(U\) er unitær.

Spørgsmål d#

Opskriv en unitær matrix \(U\) og en diagonalmatrix \(\Lambda\)\(A = U \Lambda U^*\). Denne formel kaldes en spektral dekomposition af \(A\). Tjek dit resultat med SymPy-kommandoen:

A = Matrix([[0, I], [-I, 0]])
A.diagonalize(normalize = True)

3: Symmetrisk 3-gange-3 matrix.#

Givet den reelle og symmetriske matrix

\[\begin{equation*} A=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Find en spektral dekomposition af \(A = Q \Lambda Q^T\). Du skal altså angive en reel ortogonal matrix \(Q\) og en diagonalmatrix \(\Lambda\)

\[\begin{equation*} A = Q \Lambda Q^T \end{equation*}\]

eller, ækvivalent,

\[\begin{equation*} Q^T \, A\, Q=\Lambda \end{equation*}\]

gælder. Som i opgaven før ved vi at den findes fra Spectral Theorem (the real case).

4: Spektral dekomposition med SymPy#

Vi betragter følgende matricer givet i SymPy:

A = Matrix([[1, -1, 0, 0], [0, 1, -1, 0], [0, 0, 1, -1], [-1, 0, 0, 1]])
B = Matrix([[1, 2, 3, 4], [4, 1, 2, 3], [3, 4, 1, 2], [2, 3, 4, 1]])
A, B
\[\begin{split}\displaystyle \left( \left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 & 0\\0 & 1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \ \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 1 & 2 & 3\\3 & 4 & 1 & 2\\2 & 3 & 4 & 1\end{matrix}\right]\right)\end{split}\]

Det oplyses at begge matricer er reelle, normale matricer. Dette kan tjekkes ved:

A.conjugate() == A, B.conjugate() == B, A*A.T == A.T*A, B*B.T == B.T*B
(True, True, True, True)

Det oplyses endvidere at egenværdierne er hhv:

A.eigenvals(multiple=True), B.eigenvals(multiple=True)
../_images/ec7eb87206e13ae8d94db6d1f94ad93a59b96f56fc73c5f43aebcfc592002b91.png

Spørgsmål a#

Vil nedenstående SymPy-kommandoer give os matricerne der indgår i de spektrale dekompositioner af \(A\) og \(B\)? Kaldet A.diagonalize(normalize = True) returnerer \((V,\Lambda)\) hvor \(A = V \Lambda V^{-1}\) med normaliserede egenvektorer i \(V\) og egenværdierne for \(A\) i diagonalmatricen \(\Lambda\) (jf egenværdiproblemet fra Matematik 1a).

A.diagonalize(normalize = True), B.diagonalize(normalize = True)

Spørgsmål b#

Findes der en unitær matrix der diagonaliserer både \(A\) og \(B\)? Altså, findes der en unitær matrix så \(A = U \Lambda_1 U^*\) og \(B = U \Lambda_2 U^*\), hvor \(\Lambda_1\) er en diagonal matrix med \(A\)’s egenværdier og \(\Lambda_2\) er en diagonal matrix med \(B\)’s egenværdier?

Spørgsmål c#

Du har set matricen \(U\) eller \(U^*\) før (eventuelt med søjlerne i en anden rækkefølge). Hvad er det for en matrix?

5: Diagonalisering og reduktion af kvadratisk form#

Vi betragter funktionen \(q : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) givet ved

\[\begin{equation*} q(x,y,z)=-2x^2-2y^2-2z^2+2xy+2xz-2yz+2x+y+z+5. \end{equation*}\]

Bemærk at \(q\) kan deles op i to led: de “rene” andengradsled \(k(x,y,z)=-2x^2-2y^2-2z^2+2xy+2xz-2yz\) og det andet led: et førstegradspolynomium \(2x+y+z+5\).

Givet den symmetriske matrix

\[\begin{equation*} A=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}. \end{equation*}\]

Spørgsmål a#

Angiv en reel, ortogonal matrix \(Q\) og en diagonalmatrix \(\Lambda\), således at

\[\begin{equation*} Q^T \, A\, Q=\Lambda. \end{equation*}\]

Du skal vælge \(Q\) så den har \(\mathrm{det}\,Q=1\). Du må gerne bruge SymPy til denne opgave.

Note

Reelle, ortogonale matricer har altid \(\mathrm{det}\,Q = \pm 1\) (hvorfor mon?), så hvis dit valg \(Q\) har \(\mathrm{det}\,Q = - 1\) kan du blot skifte fortegn på en valgfri søjle eller række. Reelle, ortogonale matricer megd \(\mathrm{det}\,Q = 1\) kaldes sædvanligt orienteret. I \(\mathbb{R}^3\) betyder det blot at den ortonormale basis i \(Q\) er et højredrejet koordinatsystem. Det spiller ikke noget stor rolle for os i denne opgave.

Spørgsmål b#

Bestem forskriften \(k(x,y,z),\) omform den til matrixform, og reducér den.

Spørgsmål c#

Find en sædvanligt orienteret ortonormal basis for \(\mathbb{R}^3\) hvori forskriften for \(q\) er uden blandede led. Bestem forskriften.

6: Standardligning for de tre typiske keglesnit#

I de følgende eksempler ser vi på kvadratiske former uden blandede led (da vi jo netop kan slippe af med disse via diagonalisering som i forrige opgave). Her er det muligt at gå skridtet videre og fjerne førstegradsleddene. Denne teknik kaldes kvadratkomplettering. I det følgende skal vi bruge teknikken på vejen mod identifikation af såkaldte keglesnit.

Spørgsmål a#

En ellipse i \((x,y)\)-planen med centrum \((c_1,c_2),\) halvakserne \(a\) og \(b\) og symmetriakserne \(x=c_1\) og \(y=c_2\) har standardligningen

\[\begin{equation*} \frac{(x-c_1)^2}{a^2}+\frac{(y-c_2)^2}{b^2}=1. \end{equation*}\]

En ellipse er givet ved ligningen

\[\begin{equation*} 4x^2+y^2+8x-6y+9=0. \end{equation*}\]

Udfør kvadratkomplettering, sæt ligningen på standardform, og angiv ellipsens centrum, halvakser og symmetriakser.

Spørgsmål b#

En hyperbel i \((x,y)\)-planen med centrum \((c_1,c_2),\) halvakserne \(a\) og \(b\) og symmetriakserne \(x=c_1\) og \(y=c_2\) har standardligningen

\[\begin{equation*} \frac{(x-c_1)^2}{a^2}-\frac{(y-c_2)^2}{b^2}=1. \end{equation*}\]

Eller alternativt (hvis den ikke er vandret, men lodret):

\[\begin{equation*} \frac{(y-c_2)^2}{a^2}-\frac{(x-c_1)^2}{b^2}=1. \end{equation*}\]

En hyperbel er givet ved ligningen

\[\begin{equation*} x^2-y^2-4x-4y = 4. \end{equation*}\]

Udfør kvadratkomplettering, sæt ligningen på standardform, og angiv hyperblens centrum, halvakser og symmetriakser.

Spørgsmål c#

En parabel i \((x,y)\)-planen med toppunkt \((c_1,c_2)\) og symmetriaksen \(x=c_1\) har standardligningen

\[\begin{equation*} y-c_2=a(x-c1)^2. \end{equation*}\]

Eller alternativt, hvis parablen ikke er lodret men vandret, hvorved symmetriaksen bliver \(y=c_2\):

\[\begin{equation*} x-c_1=a(y-c2)^2. \end{equation*}\]

En parabel er givet ved ligningen

\[\begin{equation*} 2x^2+12x-y+17=0. \end{equation*}\]

Udfør kvadratkomplettering, sæt ligningen på standardform, og angiv parablens toppunkt og symmetriakse.

7: Den partielle afledte vokser/aftager mest i gradient-retningen#

Denne opgave er taget fra bogen, og formålet er at argumentere for, hvorfor man i gradient-metoden går i gradientvektorens retning.

Lad \(f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}\) være en funktion, for hvilken alle retningsafledte eksisterer i \(\pmb{x} \in \mathbb{R}^{n}\). Antag at \(\nabla f(\pmb{x})\) ikke er nul-vektoren.

Spørgsmål a#

Vis at \(\pmb{u} := \nabla f(\pmb{x}) / \Vert \nabla f(\pmb{x}) \Vert\) er en enhedsvektor.

Spørgsmål b#

Vis at skalaren \(|\nabla_{\pmb{v}}f(\pmb{x})|\) bliver størst mulig, når \(\pmb{v} = \pm \pmb{u}\).

8: Reel symmetrisk 2-gange-2 matrix.#

Vi betragter en vilkårlig reel, symmetrisk \(2 \times 2\) matrix. En sådan matrix kan skrives:

\[\begin{equation*} A=\begin{bmatrix} a & c \\ c & b \end{bmatrix} \end{equation*}\]

hvor \(a,b\) og \(c\) er reelle tal.

Spørgsmål a#

Vis at \(A\)’s egenværdier er reelle.

Spørgsmål b#

Vis at hvis \(A\) ikke er en diagonalmatrix, så har den to forskellige (reelle) egenværdier.


Temaøvelse – Lille Dag#

Der er tema-øvelse Tema 2: Data-matricer og Dimensionsreduktion