Uge 8: Riemann-Integralet i n-D

Nøglebegreber

• Riemann-integralet for skalar-funktioner af n variable

• Riemann-integralet for vektor-funktioner

• Transformationssætningen: Koordinatskifte i \(\mathbb{R}^n\)

• Jacobi-determinanten

• Typiske koordinater:

  • I \(\mathbb{R}^2\): Kartesiske og polære koordinater

  • I \(\mathbb{R}^3\): Kartesiske, sfæriske/kugle, cylinder/semi-polære koordinater

Forberedelse og pensum

• Læsepensum: Resten af kapitel 6

• Python demo

---

Opgaver – Store Dag

1: Planintegraler over rektangler. Håndregning

Spørgsmål a

Betragt området \(B=\left\lbrace (x,y) \bigm| 0\leq x\leq 2 \wedge -1\leq y\leq 0\right\rbrace\) i \(\mathbb{R}^2\). Udregn planintegralet

\[\begin{equation*} \int_B (x^2y^2+x) \mathrm{d}\pmb{x} \end{equation*}\]

via formlen for dobbelt integraler over (akseparallelle) rektangler.

Spørgsmål b

Vi vil udregne samme planintegral igen, men på en umiddelbart mere kompliceret måde, nemlig via Transformationssætningen for integraler over \(\mathbb{R}^2\).

Hint

Du skal først finde en parametrisering af området. Bemærk at \(B\) er et akseparallelt rektangel i \((x,y)\)-planen.

Hint

En mulig parametrisering er \(\pmb{r}(u,v)=(2u,v-1)\) hvor \((u,v) \in [0,1]^2\). Et alternativ er \(\pmb{r}(u,v)=(2u,-v)\) hvor \((u,v) \in [0,1]^2\). Prøv gerne med begge.

Hint

Find (absolut-værdien af) Jacobi-determinanten. Derefter: Integranden \(x^2y^2+x\) skal udtrykkes ved \(u\) og \(v\).

Hint

Husk sammenhængen \((x,y) = \pmb{r}(u,v)\).

Svar

\[\begin{equation*} \int_B x^2y^2+x \;\mathrm{d}\pmb{x}=\frac{26}{9} \end{equation*}\]

Spørgsmål c

Udregn planintegralet

\[\begin{equation*} \int_B \frac{y}{1+xy} \;\mathrm{d}\pmb{x}, \quad\text{hvor}\quad B=\left\lbrace (x,y) \mid 0\leq x\leq 1 \, \wedge \, 0\leq y\leq 1\right\rbrace \end{equation*}\]

Hint

Bemærk at \(B\) igen er et akseparallelt rektangel i \((x,y)\)-planen.

Hint

\[\begin{equation*} \int_B \left(\frac{y}{1+xy}\right) \;\mathrm{d}\pmb{x}=\int_{0}^{1} \left(\int_{0}^{1} \frac{v}{1+uv} \mathrm{d}u \right)\mathrm{d}v. \end{equation*}\]

Hint

Mht. det inderste integral: brug substitutionsmetoden idet du sætter den indre funktion til

\[\begin{equation*} t=g(u)=1+uv \end{equation*}\]

og den ydre til

\[\begin{equation*} f(t)=\displaystyle{\frac 1t} \end{equation*}\]

Svar

\[\begin{equation*} \int_B \frac{y}{1+xy} \;\mathrm{d}\pmb{x}=2\ln 2-1 \end{equation*}\]

2: Polære koordinater. Håndregning

En funktion \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) er givet ved

\[\begin{equation*} f(x,y)=x^2-y^2 \end{equation*}\]

For et givet punkt \(\pmb{x}=(x,y)\) i planen betegner \(r = \Vert \pmb{x} \Vert\) punktets afstand til origo \((0,0)\). Tilsvarende betegner \(\theta\) vinkel mellem \(x\)-aksen og punktets stedvektor, regnet med fortegn i omdrejningsretningen mod uret. En punktmængde \(B\) er i polære koordinater beskrevet som de punkter for hvilket

\[\begin{equation*} 0\leq r \leq a \, \text{ og } \, -\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \end{equation*}\]

hvor \(a\) er et vilkårligt positivt reelt tal.

Spørgsmål a

Lav en skitse af \(B\), og bestem arealet af \(B\) både ved integration og elementær geometrisk betragtning.

Hint

Du kan bruge denne parameterfremstilling af \(B\): \((x,y)=\pmb{p}(u,v)=(u\cos(v),u\sin (v))\) for \(-\frac{\pi}{4} \leq v \leq \frac{\pi}{2}\) og \(0\leq u \leq a\). Her må du selvfølgelig gerne omdøbe \(u\) til \(r\) og \(v\) til \(\theta\) (hvilket er det man typisk bruger i.f.m. polære koordinater).

Svar

Arealet er \(\frac{3}{8} a^2\pi\).

Spørgsmål b

Bestem planintegralet \(\int_B f(x,y) \;\mathrm{d}\pmb{x}\).

Hint

Ved håndregning: Når du skal finde stamfunktioner, kan du måske have glæde at denne trigonometriske formel om den dobbelte vinkel:

\[\begin{equation*} cos^2(v)-\sin^2(v)=\cos(2v) \end{equation*}\]

Svar

\[\begin{equation*} \int_B (x^2-y^2) \;\mathrm{d}\pmb{x}=\frac{a^4}{8} \end{equation*}\]

3: Volumen af et parallellotop

Et parallellotop \(P\) i \(\mathbb{R}^n\) “udspændt” af vektorerne \(\pmb{a}_1, \pmb{a}_2, \dots, \pmb{a}_n\) defineres ved:

\[\begin{equation*} P = \left\{ \pmb{y} \in \mathbb{R}^n \mid \, \pmb{y} = A\pmb{x}, \quad \text{hvor } x_i \in [0,1] \text{ for $i=1,2,\dots, n$} \right\} \end{equation*}\]

hvor \(A = [\pmb{a}_1 | \pmb{a}_2 | \cdots | \pmb{a}_n]\) er \(n \times n\) matricen hvis \(i\)’te søjle er \(\pmb{a}_i\). Punktmængden kan kort skrives \(P=A([0,1]^n)\).

Det kan vises med værktøjer kun fra Matematik 1a (specielt karakteriseringen af determinanten) at det \(n\)-dimensionale volumen af \(P\) er:

\[\begin{equation*} \mathrm{vol}_n(P) = |\mathrm{det}(A)| \end{equation*}\]

(For den interesserede studerende: et sådant bevis findes her https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html)

I \(\mathbb{R}^2\) er et parallellotop det velkendte pallellogram, og \(\mathrm{vol}_n(P)\) er arealet af \(P\), mens man i \(\mathbb{R}^3\) genfinder parallelepipedummet og det almindelige volumen.

Spørgsmål a

Vis \(\mathrm{vol}_n(P) = |\mathrm{det}(A)|\) ved hjælp af Transformationssætningen for integraler over \(\mathbb{R}^n\).

Hint

Da \(P=A([0,1]^n)\) vælger vi \(\Gamma = [0,1]^n\). Hvad er den tilhørende parametrisering?

Hint

\(\pmb{r}(\pmb{u}) = A \pmb{u}\) hvor \(\pmb{u} \in \Gamma = [0,1]^n\). Hvad er den tilhørende Jacobi-matrix?

Svar

Jacobi-determinanten er \(\mathrm{det}(A)\). Til udregning af \(\mathrm{vol}_n(P)\) skal bruges \(f(\pmb{x}) = 1\). Den samlede integrand er derfor konstanten \(|\mathrm{det}(A)|\) som skal integreres over \(\Gamma = [0,1]^n\), hvilket blot bliver \(|\mathrm{det}(A)|\). Det integral vi har udregnet er per definition lig med \(\mathrm{vol}_n(P)\).

I resten af opgaven ønsker vi at undersøge udsagnet \(\mathrm{vol}_n(P) = |\mathrm{det}(A)|\) uden brug af integrationsteknikker.

Spørgsmål b

Lad \(n=2\). Vælg to lineært uafhængige vektorer \(\pmb{a}_1, \pmb{a}_2\) i \(\mathbb{R}^2\). Du kan med fordel vælge \(\pmb{a}_1 \in \mathrm{span}(\pmb{e}_1)\). Udregn (ved simple geometriske overvejelser) arealet af parallellogrammet “udspændt” af de to vektorer. Udregn også \(|\mathrm{det}(A)|\) og sammenlign størrelserne.

Hint

Du får nok brug af at lave den ortogonale projektion af \(\pmb{a}_2\) ind på det ortogonale komplement til \(\pmb{a}_1\).

Spørgsmål c

Lad \(n=2\) og lad nu \(\pmb{a}_1, \pmb{a}_2\) være vilkårlige, men lineært uafhængige vektorer i \(\mathbb{R}^2\). Kan du bevise formlen \(\mathrm{areal}(P) = |\mathrm{det}(A)|\), hvor \(P\) er parallellogrammet “udspændt” af de to vektorer. Du kan antage (hvorfor?) at \(\pmb{a}_1 \in \mathrm{span}(\pmb{e}_1)\) hvis det gør dit argument lettere.

Hint

Du får igen nok brug af at lave den ortogonale projektion af \(\pmb{a}_2\) ind på det ortogonale komplement til \(\pmb{a}_1\).

Svar

Vi giver her en bevis uden brug af trigonometriske identiteter:

Da rotation ikke ændrer på arealet af et området, kan vi ved at rotere parallelogrammet antage at \(\pmb{a}_1 \in \mathrm{span}(\pmb{e}_1)\), dvs. at \(A\) er en øvre trekantsmatrix \(A = [a_{i,j}]\) med \(a_{1,2}=0\). Da \(A\) er en øvre trekantsmatrix er determinanten produktet af diagonalelementerne, altså \(\mathrm{det}(A) = a_{1,1} a_{2,2}\). Dermed er \(|\mathrm{det}(A)| = |a_{1,1} a_{2,2}|\). Vi skal nu blot vise at dette også er arealet.

Arealet af parallelogrammet er givet ved længden af \(\pmb{a}_1\) (dvs. \(|a_{1,1}|\)) ganget med “højden”, der er længden af den ortogonal projektion af \(\pmb{a}_2\) på \(\mathrm{span}(\pmb{e}_2)\) (dvs. \(|\langle \pmb{a}_2, \pmb{e}_2 \rangle| = |a_{2,2}|\)). Arealet er altså: \(|a_{1,1}| |a_{2,2}| = |a_{1,1} a_{2,2}|\).

Spørgsmål d

Lad \(n=3\). Vælg tre lineært uafhængige vektorer \(\pmb{a}_1, \pmb{a}_2, \pmb{a}_3\) i \(\mathbb{R}^3\). Du kan med fordel vælge \(\pmb{a}_1, \pmb{a}_2 \in \mathrm{span}(\pmb{e}_1, \pmb{e}_2)\). Udregn (ved simple geometriske overvejelser) volumen af parallelepipedummet “udspændt” af de tre vektorer. Udregn også \(|\mathrm{det}(A)|\) og sammenlign størrelserne.

Hint

Du får nok brug af at lave den ortogonale projektion af \(\pmb{a}_2\) ind på det ortogonale komplement til \(\pmb{a}_1\).

Spørgsmål e (frivillig/ekstra)

Lad \(n=3\) og lad nu \(\pmb{a}_1, \pmb{a}_2, \pmb{a}_3\) være vilkårlige, men lineært uafhængige vektorer i \(\mathbb{R}^3\). Kan du bevise formlen \(\mathrm{areal}(P) = |\mathrm{det}(A)|\), hvor \(P\) er parallelepipedummet “udspændt” af de tre vektorer. Du kan antage (hvorfor?) at \(\pmb{a}_1, \pmb{a}_2 \in \mathrm{span}(\pmb{e}_1, \pmb{e}_2)\), hvis det gør dit argument lettere.

4: Planintegral med parametrisering I

I \((x,y)\)-planen er der givet punktet \(P_0=(1,2)\) og punktmængden

\[\begin{equation*} C=\left\lbrace (x,y)\Big\vert \frac 32\leq y \leq \frac 52 \wedge 0\leq x\leq \frac 12 y^2\right\rbrace \end{equation*}\]

Spørgsmål a

Lav en foreløbig skitse af \(C\) og angiv en parameterfremstilling \(\pmb{r}(u,v)\) for \(C\) med passende intervaller for \(u\) og \(v\), dvs angiv \(\Gamma\) så \(\pmb{r}(\Gamma)=C\). Argumentér for at den valgte parametrisering er injektiv (hvis den valgte parametrisering ikke er injektiv, skal du finde en ny).

Spørgsmål b

Bestem de to parameterværdier \(u_0\) og \(v_0\) således at \(\pmb{r}(u_0,v_0)=P_0\). Lav en illustration af \(C\) (fx med Sympy) hvor du udfra \(P_0\) afsætter tangentvektorerne \(\pmb{r}'_u(u_0,v_0)\) og \(\pmb{r}'_v(u_0,v_0)\). Bestem arealet af det parallelogram som udspændes af tangentvektorerne, jf. Opgave 3: Volumen af et parallellotop.

Spørgsmål c

Bestem den til \(\pmb{r}(u,v)\) hørende Jacobi-determinant og argumenter for at de to søjle-vektorer i Jacobi-matricen er lineært uafhængige for alle \((u,v) \in \Gamma\). Udregn Jacobi-determinanten i punktet \((u_0,v_0)\).

Spørgsmål d

Udregn planintegralet:

\[\begin{equation*} \int_C \frac{1}{y^2+x} \mathrm{d}\pmb{x} \end{equation*}\]

via Transformationssætningen for integraler over \(\mathbb{R}^2\). Du skal argumentere for at Transformationssætningen kan bruges.

Svar

Parametriseringen kan fx være \(\pmb{r}(u,v)=(\tfrac{1}{2}vu^2,u)\) hvor \(u\in\left[ \tfrac 32,\tfrac 52\right]\) og \(v\in\left[ 0,1\right]\). Den tilhørende Jacobi-determinant er da \(-\frac{1}{2}u^2\).

\[\begin{equation*} \int_C \frac{1}{x^2+y} \mathrm{d}\pmb{x}=\ln(3)-\ln(2) \end{equation*}\]

5: Planintegral med parametrisering II

Vi skal bestemme planintegralet

\[\begin{equation*} \int_B 2xy\,\mathrm{d} \pmb{x} \quad\text{hvor}\quad B=\left\lbrace (x,y) \mid 0\leq x \, \wedge \, 0\leq y, x+y\leq 1\right\rbrace \end{equation*}\]

Følg de nedenstående trin.

Spørgsmål a

Skitsér først området \(B\). Bestem derefter en parameterfremstilling for \(B\).

Hint

Se parametriseringseksemplet i Python-demoen.

Svar

\(B\) kan parametrisers på (uendeligt) mange måder, én af dem er:

\[\begin{equation*} \pmb r(u,v)=(u,v(1-u)),\;\text{hvor}\; u\in\left[ 0,1\right]\text{ og } v\in\left[ 0,1\right] \end{equation*}\]

Spørgsmål b

Bestem den Jacobi-determinant, som svarer til denne parametrisering. Er Jacobi-determinanten forskellig fra nul på det indre af parameterområdet (som kræves af Transformationssætningen)?

Svar

\(\mathrm{det}(\pmb{J}_{\pmb{r}}(u,v))=1-u\).

Spørgsmål c

Bestem nu det ønskede integral.

Hint

Du skal indsætte parametriseringens første- og andenkoordinat i funktionen \(2xy,\) gange med (absolut-værdien af) Jacobi-determinanten, og derefter integrere, først med hensyn til \(u\) og dernæst \(v\).

Hint

Du skal integrere

\[\begin{equation*} \int_0^1\left(\int_0^1 2u^3v-4u^2v+2uv\;\mathrm{d}u\right)\mathrm{d}v \end{equation*}\]

Hint

En stamfunktion med hensyn til \(u\) er:

\[\begin{equation*} {\frac 12u^4v-\frac 43u^3v+u^2v} \end{equation*}\]

Når du indsætter \(u\)-grænserne, får du \(\displaystyle{\frac 16 v}\) som du nu skal integrere mht. \(v\).

Svar

\[\begin{equation*} \int_B 2xy \mathrm{d} \pmb{x}=\frac{1}{12} \end{equation*}\]

6: Partiel integration og substitution i to variable

Spørgsmål a

Bestem \(\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} u\cos(u+v)\mathrm{d}u\right)\mathrm{d}v.}\)

Hint

Find ved partiel integration med hensyn til \(u\) en stamfunktion \(F(u)\) for funktionen

\[\begin{equation*} u\cos(u+v) \end{equation*}\]

Så vil

\[\begin{equation*} {F(\frac{\pi}{2})-F(0)} \end{equation*}\]

være en funktion af \(v\) som du nu skal finde en stamfunktion \(G(v)\) til. Og indsætte grænserne for \(v\) i.

Hint

\(G(v)=\frac{\pi}{2}\cos(v)-\sin(v)-\cos(v)\).

Svar

\(\displaystyle{\frac{\pi}{2}-2}\).

Spørgsmål b

Bestem \(\displaystyle{\int_0^1\left(\int_0^1 \frac{v}{(uv+1)^2}\mathrm{d}u\right)\mathrm{d}v.}\)

Hint

Find ved substitution med hensyn til \(u\) en stamfunktion \(F(u)\) for funktionen

\[\begin{equation*} {\frac{v}{(uv+1)^2}.} \end{equation*}\]

Så vil

\[\begin{equation*} {F(1)-F(0)} \end{equation*}\]

være en funktion af \(v\) som du nu skal finde en stamfunktion \(G(v)\) til. Og indsætte grænserne for \(v\) i.

Hint

\(\displaystyle{G(v)=1-\frac{1}{v+1}}\).

Svar

\(1-\ln(2)\).

7: Et tripelintegral

Bestem trippelintegralet

\[\begin{equation*} \displaystyle{\int_1^2\int_1^2\int_1^2 \frac{xy}{z} \mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz.}\ \end{equation*}\]

Hint

Vi integrerer over en akseparallel kasse!

Svar

\(\displaystyle{\frac 94 \ln(2).}\)

---

Opgaver – Lille Dag

Bemærk: På engelsk kaldes \(|\det{\pmb{J}_{\pmb{r}}(\pmb{u})}|\) ofte for “the Jacobian”. På dansk vil man nok kalde den “Jacobianten” eller bruge den fulde beskrivelse: “absolut-værdien af determinanten af Jacobi-matricen”. På DTU kaldes den undertiden for “Jacobi-funktionen”, men dette er ikke en betegnelse der bruger uden for DTU - og man tales således ikke om “the Jacobi function” i engelsk sproget litteratur.

1: Parametriseret rumligt område. Håndregning.

Et område \(B\) i \((x,y,z)\)-rummet er givet ved parameterfremstillingen

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v,w)=\big(\frac{1}{2}u^2-v^2,-uv,w\big),\quad u\in \left[ 0,2\right],v\in \left[ 0,2\right],w\in \left[ 0,2\right] \end{equation*}\]

Spørgsmål a

I \(B\) er der givet punktet

\[\begin{equation*} \pmb{x}_0=\pmb{r}(1,1,1) \end{equation*}\]

Find \(\pmb{x}_0\). Afsat ud fra \(\pmb{x}_0\) udspænder tangentvektorerne \(\pmb{r}_u'(1,1,1),\pmb{r}_v'(1,1,1)\) og \(\pmb{r}_w'(1,1,1)\) et parallelepipedum \(P\), jf. Opgave 3: Volumen af et parallellotop. Bestem volumen af dette parallelepipedum. Illustrér evt. med Sympy.

Hint

Volumen fås som absolutværdien af determinanten af den matrix der har de udspændende vektorer som søjler.

Svar

\(\pmb{x}_0=(-1/2, -1, 1)\). Volumen af \(P\) er \(3\).

Spørgsmål b

Bestem absolut-værdien af Jacobi-determinanten der hører til \(\pmb{r}\). Evaluer den i \(\pmb{x}_0\).

Hint

Jacobi-determinanten er jo determinanten af Jacobi-matricen. Hvordan er denne matrix relateret til det vi fandt i det foregående spørgsmål?

Svar

\(|\pmb{J}_{\pmb{r}}(u,v,w)|=u^2+2v^2\). Altså er \(|\pmb{J}_{\pmb{r}}(1,1,1)|=1^2+2\cdot 1^2 = 3\).

Spørgsmål c

Bestem voluminet af \(B\).

Hint

Voluminet af \(B\) kan beregnes som integralet over funktionen 1 - og glem ikke absolut-værdien af Jacobi-determinanten som integrand.

Svar

\(32\).

2: Massefordelinger i \((x,y)\)-planen

Betragt punktmængderne i \(\mathbb{R}^2\) givet ved:

\[\begin{equation*} B=\left\lbrace (x,y)\vert 1\leq x\leq 2 \, \wedge \, 0\leq y\leq x^3\right\rbrace \end{equation*}\]

og (igen)

\[\begin{equation*} C=\left\lbrace (x,y)\Big\vert \frac 32\leq y \leq \frac 52 \wedge 0\leq x\leq \frac 12 y^2\right\rbrace. \end{equation*}\]

Vi opfatter \(f(x,y)\) som massetætheden/massefylden (kg/m\(^2\)) i punktet \((x,y)\).

Spørgsmål a

Antag massetætheden er konstant \(f(x,y)=1\) for \((x,y)\in B\). Bestem massen og massemidtpunktet af \(B\).

Hint

Massen er \(M = \int_B 1 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\). Find formlen for massemidtpunktet i bogen i afsnittet om integration af vektorfunktioner.

Svar

Massen er \(\frac{15}{4}\) og massemidtpunktet er \((x,y)=(\frac{124}{75},\frac{254}{105})\).

Spørgsmål b

Antag massetætheden er \(f(x,y)=x^2\) for \((x,y)\in B\). Bestem massen og massemidtpunktet af \(B\).

Svar

Massen er \(\frac{21}{2}\) og massemidtpunktet er \((x,y)=(\frac{254}{147},\frac{73}{27})\).

Spørgsmål c

Antag massetætheden er konstant \(f(x,y)=1\) for \((x,y)\in C\). Bestem massen og massemidtpunktet af \(C\).

Svar

Massen er \(\frac{49}{24}\) og massemidtpunktet er \((x,y)=(\frac{4323}{3920},\frac{102}{49})\).

Spørgsmål d

Antag massetætheden er \(f(x,y)=x^2\) for \((x,y)\in C\). Bestem massen og massemidtpunktet af \(C\).

Svar

Massen er \(\frac{37969}{10752}\) og massemidtpunktet er \((x,y)=(\frac{6767047}{3645024},\frac{84014}{37969})\).

3: Kugleformede områder i rummet

Betragt det rumlige område \(\pmb{r}(\Gamma)\) givet ved

\[\begin{equation*} \pmb{r}(u,v,w)=\big(u\sin(v)\cos(w),u\sin(v)\sin(w),u\cos(v)\big), \quad (u,v,w) \in \Gamma, \end{equation*}\]

hvor \(\Gamma = [a,b] \times [c,d] \times [e,f] \subset [0, \infty[ \times [0,\pi] \times [0,2\pi]\). Vi betragter altså følgende parameterværdier: \(u\in [a,b],v\in [c,d],w\in [e,f]\).

Spørgsmål a

Hvilken betydning har parametrene?

Spørgsmål b

Lad \(A\) være det område der er bestemt ved valget:

\[\begin{equation*} a=1,b=3,c=\frac{\pi}{4},d=\frac{\pi}{3},e=0,f=\frac{3\pi}{4} \end{equation*}\]

og \(B\) ved valget

\[\begin{equation*} a=2,b=4,c=\frac{\pi}{4},d=\frac{\pi}{2},e=-\frac{\pi}{4},f=\frac{\pi}{4} \end{equation*}\]

Beskriv i ord hvert af områderne \(A\), \(B\) og \(A\cap B\), og bestem deres volumen.

Svar

\(\mathrm{vol} (A)=\frac{13\pi(\sqrt 2-1)}{4}\).

\(\mathrm{vol} (B)=\frac{14\pi\sqrt 2}{3}\).

\(\mathrm{vol} (A\cap B)=\frac{19\pi(\sqrt 2-1)}{24}\).

I øvrigt kan \(\mathrm{vol}(A\cup B)\) beregnes ved \(\mathrm{vol}(A) + \mathrm{vol}(B) - \mathrm{vol}(A\cap B)\).

Spørgsmål c

Find integralerne

\[\begin{equation*} \int_A x_1 \, \mathrm{d}\pmb{x}, \quad \int_Bx_1 \, \mathrm{d}\pmb{x} \quad \text{og} \quad \int_{A\cap B}x_1 \, \mathrm{d}\pmb{x} \end{equation*}\]

Svar

\[\begin{equation*} \int_A x_1 \, \mathrm{d}\pmb{x}=\frac{5\sqrt 2}{2}+\frac{5\pi\sqrt 2}{12}-\frac{5\sqrt 2\sqrt 3}{4} \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} \int_B x_1 \, \mathrm{d}\pmb{x}=\frac{15\pi\sqrt 2}{2}+15\sqrt 2 \end{equation*}\]

\[\begin{equation*} \int_{A\cap B}x_1 \, \mathrm{d}\pmb{x}=\frac{65\sqrt 2}{32}+\frac{65\pi\sqrt 2}{192}-\frac{65\sqrt 2\sqrt 3}{64} \end{equation*}\]

4: Et uegentligt integral i planen

Lad \(B\) være enhedskvadratet \([0,1]^2\). Vi vil undersøge det uegentlige planintegral

\[\begin{equation*} I := \int_B \frac{1}{x_2-x_1-1} \mathrm{d}\pmb{x} \end{equation*}\]

Integranden \(f(x_1,x_2)=\frac{1}{x_2-x_1-1}\) er ikke Riemann-integrabel over \(B\), da \(f\) ikke er defineret i punktet \((x_1,x_2)=(0,1)\). Vi ønsker at finde ud af om vi alligevel kan tillægge integralet en værdi via grænseovergang.

Spørgsmål a

Find de punkter i planen \((x,y)\) hvor \(f(x_1,x_2)\) ikke er defineret. Find værdimængden af \(f\) som funktion på \(B \setminus \{(0,1)\}\).

Hint

Er \(f\) positiv eller negativ på \(B\)?

Spørgsmål b

Lad \(B_a = [a,1] \times [0,1]\) for et fast \(a \in [0,1]\). Lav en skitse af \(B_a\) og lav en parametrisering af \(B_a\). Udregn Jacobi-determinanten af parametriseringen.

Spørgsmål c

Udregn Riemann-integralet

\[\begin{equation*} I_a := \int_{B_a} \frac{1}{x_2-x_1-1} \mathrm{d}\pmb{x} \end{equation*}\]

for hvert \(a \in ]0,1]\).

Spørgsmål d

Udregn grænsen af \(I_a\) for \(a \to 0\).

Svar

\(I = -2 \ln(2)\)

Spørgsmål e

Lad \(B_b = [0,1] \times [0,b]\). Definer \(I_b := \int_{B_b} \frac{1}{x_2-x_1-1} \mathrm{d}\pmb{x} \). Find \(\lim_{b \to 1} I_b\) og sammenlign med overstående.